Квадратным трёхчленом называется многочлен вида ax^2 + bx + с, где x - переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Чтобы разложить трехчлен на множители, нужно знать корни этого трехчлена. (далее пример на трехчлене 5х^2 + 3х- 2)

Заметим: значение квадратного трёхчлена 5х^2 + 3х - 2 зависит от значения х. Например: Если х = 0, то 5х^2 + 3х - 2 = -2

Если х = 2, то 5х^2 + 3х - 2 = 24

Если х = -1, то 5х^2 + 3х - 2 = 0

При х = -1 квадратный трёхчлен 5х^2 + 3х - 2 обращается в нуль, в этом случае число -1 называют корнем квадратного трёхчлена .

Как получить корень уравнения

Поясним, как мы получили корень этого уравнения. Для начала необходимо четко знать теорему и формулу, по которой мы будем работать:

“Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2 + bx + c, то ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)”.

Х = (-b±√(b^2-4ac))/2a \

Это формула нахождения корней многочлена является самой примитивной формулой, решая по которой вы никогда не запутаетесь.

Выражение 5х^2 + 3х – 2.

1. Приравниваем к нулю: 5х^2 + 3х – 2 = 0

2. Находим корни квадратного уравнения, для этого подставляем значения в формулу (а – коэффициент при Х^2, b – коэффициент при Х, свободный член, то есть цифра без Х):

Первый корень находим со знаком плюс перед корнем квадратным:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Второй корень со знаком минус перед корнем квадратным:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Вот мы и нашли корни квадратного трехчлена. Чтобы убедиться, что они верные, можно сделать проверку: сначала подставляем первый корень в уравнение, затем второй:

1) 5х^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5х^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Если при подстановке всех корней уравнение обращается в ноль, значит уравнение решено верно.

3. Теперь воспользуемся формулой из теоремы: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), помним, что Х1 и Х2 – это корни квадратного уравнения. Итак: 5х^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5х^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Чтобы убедиться в правильности разложения можно просто перемножить скобки:

5(х - 0,4)(х + 1) = 5(х^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 +3 – 2. Что подтверждает правильность решения.

Второй вариант нахождения корней квадратного трехчлена

Еще один вариант нахождения корней квадратного трехчлена - теорема обратная теореме Виетта. Здесь корни квадратного уравнения находятся по формулам: x1 + x2 = -(b) , х1 * х2 = с . Но важно понимать, что данной теоремой можно пользоваться только в том случае, если коэффициент а = 1, то есть число, стоящее перед х^2 = 1.

Например: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Решаем: х1 + х2 = - (-2), х1 + х2 = 2

Теперь важно подумать, какие числа в произведении дают единицу? Естественно это 1 * 1 и -1 * (-1) . Из этих чисел выбираем те, которые соответствую выражению х1 + х2 = 2, конечно же - это 1 + 1. Вот мы и нашли корни уравнения: х1 = 1, х2 = 1. Это легко проверить, если подставить в выражение x^2 – 2x + 1 = 0.

Найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения. Используя формулы (59.8) для корней приведенного уравнения, получим

(первое равенство очевидно, второе получается после несложного вычисления, которое читатель проведет самостоятельно; удобно использовать формулу для произведения суммы двух чисел на их разность).

Доказана следующая

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.

В случае неприведенного квадратного уравнения следует в формулы (60.1) подставить выражения формулы (60.1) примут вид

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

Решение, а) Находим уравнение имеет вид

Пример 2. Найти сумму квадратов корней уравнения не решая самого уравнения.

Решение. Известны сумма и произведение корней. Представим сумму квадратов корней в виде

и получим

Из формул Виета легко получить формулу

выражающую правило разложения квадратного трехчлена на множители.

В самом деле, напишем формулы (60.2) в виде

Теперь имеем

что и требовалось получить.

Вышеуказанный вывод формул Виета знаком читателю из курса алгебры средней школы. Можно дать другой вывод, использующий теорему Безу и разложение многочлена на множители (пп. 51, 52).

Пусть корни уравнения тогда по общему правилу (52.2) трехчлен в левой части уравнения разлагается на множители:

Раскрывая скобки в правой части этого тождественного равенства, получим

и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях даст нам формулы Виета (60.1).

Преимущество этого вывода состоит в том, что его можно применить и к уравнениям высших степеней с тем, чтобы получить выражения коэффициентов уравнения через его корни (не находя самих корней!). Например, если корни приведенного кубического уравнения

суть то согласно равенству (52.2) находим

(в нашем случае Раскрыв скобки в правой части равенства и собрав коэффициенты при различных степенях получим

Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.

1. Примеры с решением квадратного уравнения

Пример 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2 .

Решение

Выносим x 2 за скобки:
.
2 + x - 6 = 0 :
.
Корни уравнения:
, .

.

Ответ

Пример 1.2

Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6 x 2 + 9 x .

Решение

Выносим x за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6 x + 9 = 0 :
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.

Ответ

Пример 1.3

Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3 .

Решение

Выносим x 3 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 - 2 x + 10 = 0 .
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .

Разложение многочлена на множители имеет вид:
.

Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.

Ответ

Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 + x 2 - 20 .

Решение

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) .

;
.

Ответ

Пример 2.2

Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 + x 4 + 1 .

Решение

Применим формулы:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) :

;

;
.

Ответ

Пример 2.3 с возвратным многочленом

Разложить на множители возвратный многочлен:
.

Решение

Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = -1 . Делим многочлен на x - (-1) = x + 1 . В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;


;
.

Ответ

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504 ;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120 ;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60 ;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24 ;
1 3 - 6·1 2 + 11·1 - 6 = 0 ;
2 3 - 6·2 2 + 11·2 - 6 = 0 ;
3 3 - 6·3 2 + 11·3 - 6 = 0 ;
6 3 - 6·6 2 + 11·6 - 6 = 60 .

Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Поскольку исходный многочлен - третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.

Ответ

Пример 3.2

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
-2, -1, 1, 2 .
Подставляем поочередно эти значения:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12 ;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54 .
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2 .
Подставим x = -1 :
.

Итак, мы нашли еще один корень x 2 = -1 . Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид.

Квадратный трехчлен ax 2 +bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) , где x 1, x 2 — корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

Пример 1). 2x 2 -7x-15.

Решение. 2x 2 -7x-15=0.

a =2; b =-7; c =-15. Это общий случай для полного квадратного уравнения. Находим дискриминант D .

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 действительных корня.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x 2 -7x-15 2х+3 и х-5.

Ответ: 2x 2 -7x-15=(2х+3)(х-5).

Пример 2). 3x 2 +2x-8 .

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =3; b =2; c =-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (b =2). Находим дискриминант D 1 .

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Мы представили трехчлен 3x 2 +2x-8 в виде произведения двучленов х+2 и 3х-4 .

Ответ: 3x 2 +2x-8=(х+2) (3х-4) .

Пример 3) . 5x 2 -3x-2.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =5; b =-3; c =-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях первый корень всегда равен единице, а второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x 2 -3x-2 в виде произведения двучленов х-1 и 5х+2.

Ответ: 5x 2 -3x-2=(х-1) (5х+2).

Пример 4). 6x 2 +x-5.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

a =6; b =1; c =-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: a-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Мы представили трехчлен 6x 2 +x-5 в виде произведения двучленов х+1 и 6х-5 .

Ответ: 6x 2 +x-5=(х+1) (6х-5) .

Пример 5). x 2 -13x+12.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

x 2 -13x+12=0. Проверим, можно ли применить . Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.

a =1; b =-13; c =12. Находим дискриминант D.

D=b 2 -4ac =13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:

x 1 +x 2 =13; x 1 ∙x 2 =12. Очевидно, что x 1 =1; x 2 =12.

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(х-1)(х-12).

Ответ: x 2 -13x+12=(х-1) (х-12) .

Пример 6). x 2 -4x-6.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

a =1; b =-4; c =-6. Второй коэффициент — четное число. Находим дискриминант D 1 .

Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:

Применим формулу: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) и запишем ответ.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Похожие статьи