Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Педагогические технологии : Технология объяснительно-иллюстрированного обучения, компьютерная технология, личностно-ориентированный подход в обучении, здоровьесберегающие технологии.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Продолжительность: 1 урок.

Класс: 8 класс.

Цели урока:

Обучающие:

повторить навыки применения формулы для нахождения вероятности событии и научить применять её в задачах с игральными кубиками;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения.

Развивающие:

развить навыки поиска, обработки и представления информации;
развить умение сравнивать, анализировать, делать выводы;
развить наблюдательность, а также коммуникативные умения.

Воспитательные:

воспитать внимательность, усидчивость;
сформировать понимание значимости математики как способа познания окружающего мира.

Оборудование урока: компьютер, мультимедиа, маркеры, копи-устройство mimio (или интерактивная доска), конверт (в нем находится задание для практической работы, домашней работы, три карточки: желтого, зеленого, красного цветов), модели игральных кубиков.

План урока

Организационный момент.

На предыдущем уроке мы познакомились с формулой классической вероятности.

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов .

Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша. Эта формула применяется для опытов с конечным числом равновозможных исходов.

Вероятность события = Число благоприятных исходов / число всех равновозможных исходов

Таким образом, вероятность – это число от 0 до 1.

Вероятность равна 0, если событие невозможное.

Вероятность равна 1, если событие достоверное.

Решим задачу устно: На книжной полке стоят 20 книг, из них 3 справочника. Какова вероятность, что взятая с полки книга не окажется справочником?

Решение:

Общее число равновозможных исходов – 20

Число благоприятных исходов – 20 – 3 = 17

Ответ: 0,85.

2. Получение новых знаний.

А теперь вернемся к теме нашего урока: “Вероятности событий”, подпишем её в своих тетрадях.

Цель урока: научиться решать задачи на нахождение вероятности при бросании кубика или 2-х кубиков.

Наша сегодняшняя тема связана с игральным кубиком или его еще называют игральной костью. Игральная кость известна с древности. Игра в кости - одна из древнейших, первые прообразы игральных костей найдены в Египте , и датируются они XX веком до н. э. Имеется множество разновидностей, от простых (выигрывает выкинувший большее количество очков) до сложных, в которых можно использовать различные тактики игры.

Самые древние кости датируются ХХ веком до н. э., обнаружены в Фивах. Первоначально кости служили орудием для гаданий. По данным археологических раскопок в кости играли повсеместно во всех уголках земного шара. Название произошло от первоначального материала - костей животных.

Древние греки считали, что кости изобрели лидийцы, спасаясь от голода, чтобы хоть чем-то занять свои умы.

Игра в кости получила отражение в древнеегипетской, греко-римской, ведической мифологии. Упоминается в Библии, “Илиаде”, “Одиссее”, “Махабхарате”, собрании ведических гимнов “Ригведа”. В пантеонах богов хотя бы один бог являлся обладателем игральных костей как неотъемлемого атрибута http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

После падения Римской Империи игра распространилась по Европе, особенно увлекались ей во времена Средневековья. Поскольку игральные кости использовались не только для игры, но и для гадания, церковь неоднократно пыталась запретить игру, для этой цели придумывались самые изощрённые наказания, но все попытки заканчивались неудачей.

Согласно данным археологии, в кости играли и в языческой Руси. После крещения православная церковь пыталась искоренить игру, но среди простого народа она оставалась популярной, в отличие от Европы, где игрой в кости грешила высшая знать и даже духовенство.

Война, объявленная властями разных стран игре в кости породила множество различных шулерских уловок.

В век Просвещения увлечение игрой в кости постепенно пошло на спад, у людей появились новые увлечения, их больше стали интересовать литература, музыка и живопись. Сейчас игра в кости не столько широко распространена.

Правильные кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения грани. Для этого все грани должны быть одинаковыми: гладкими, плоскими, иметь одинаковую площадь, скругления (если они имеются), отверстия должны быть просверлены на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях равна 7.

Математическая игральная кость, которая используется в теории вероятности,- это математический образ правильной кости. Математическая кость не имеет ни размера, ни цвета, ни веса и т.д.

При бросании игральной кости (кубика ) может выпасть любая из шести ее граней, т.е. произойти любое из событий - выпадение от 1 до 6 точек (очков). Но никакие две и более граней одновременно появиться не могут. Такие события называют несовместными.

Рассмотрим случай, когда бросают 1 кубик. Выполним № 2 в виде таблицы.

Теперь рассмотрим случай, когда бросают 2 кубика.

Если на первом кубике выпало одно очко, то на втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6.Получим пары (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и так с каждой гранью. Все случаи можно представить в виде таблицы из 6-ти строк и 6-ти столбцов:

Таблица элементарных событий

У вас на парте лежит конверт.

Возьмите из конверта листок с заданиями.

Сейчас вы выполните практическое задание, воспользовавшись таблицей элементарных событий.

Покажите штриховкой события, благоприятствующие событиям:

Задание 1. “Выпало одинаковое число очков”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Задание 2. “Сумма очков равна 7”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Задание 3. “Сумма очков не меньше 7”.

Что значит “не меньше”? (Ответ - “больше, или равно”)

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

А теперь найдем вероятности событий, для которых в практической работе заштриховывали благоприятствующие события.

Запишем в тетрадях №3

Задание 1.

Общее число исходов - 36

Ответ: 1/6.

Задание 2.

Общее число исходов - 36

Число благоприятствующих исходов - 6

Ответ: 1/6.

Задание 3.

Общее число исходов- 36

Число благоприятствующих исходов - 21

Р = 21/36=7/12.

Ответ: 7/12.

№4. Саша и Влад играют в кости. Каждый бросает кость два раза. Выигрывает тот, у кого выпавшая сумма очков больше. Если суммы очков равны, игра оканчивается вничью. Первым бросал кости Саша, и у него выпало 5 очков и 3 очка. Теперь бросает кости Влад.

а) В таблице элементарных событий укажите (штриховкой) элементарные события, благоприятствующие событию “Выиграет Влад”.

б) Найдите вероятность события “Влад выиграет”.

3. Физкультминутка.

Если событие достоверное - мы все дружно хлопаем,

Если событие невозможное - мы все вместе топаем,

Если событие случайное - покачаем головой / вправо-влево

“В корзине 3 яблока (2 красных, 1 зеленое).

Из корзины вытащили 3 красных – (невозможное)

Из корзины вытащили красное яблоко - (случайное)

Из корзины вытащили зеленое яблоко – (случайное)

Из корзины вытащили 2 красных и 1 зеленое – (достоверное)

Решим следующий номер.

Правильную игральную кость бросают два раза. Какое событие более вероятно:

А: “Оба раза выпало 5 очков”;

В: “В первый раз выпала 2 очка, во второй 5очков” ;

С: “Один раз выпало 2 очка, один раз 5 очков”?

Разберем событие А: общее число исходов-36, число благоприятствующих исходов- 1 (5;5)

Разберем событие В: общее число исходов-36, число благоприятствующих исходов- 1 (2;5)

Разберем событие С: общее число исходов-36, число благоприятствующих исходов- 2 (2;5 и 5;2)

Ответ: событие С.

4. Постановка домашнего задания.

1. Вырезать развертку, склеить кубики. Принести на следующий урок.

2. Выполнить 25 бросков. Результаты записать в таблицу: (на следующем уроке можно ввести понятие частоты)

3. Решите задачу: Бросают две игральные кости. Вычислите вероятность:

а) “Сумма очков равна 6”;

б) “Сумма очков не менее 5”;

в) “На первой кости очков больше, чем на второй”.

Затем провел такой же эксперимент с тремя игральными костями. На листе бумаги я записал в столбик цифры от 3 до 18. Это суммы, которые могут выпадать при бросании трех игральных костей. Я сделал 400 бросков. Подсчитал получившийся результат и занес его в таблицу. (Приложение 3 и 4) Чаще выпадают суммы 10 и 11.

Я провел еще один эксперимент уже с четырьмя игральными костями. В столбике были записаны цифры от 4 до 24. Это суммы, которые могут выпадать при бросании четырех игральных костей. Я опять сделал 400 бросков. Подсчитал получившийся результат и занес его в таблицу. (Приложение 5 и 6) Чаще выпадает сумма 14.

Затем я решил сделать математические расчеты. Составил таблицу на две игральные кости, заполнил ее. (Приложение 7) У меня получился результат – чаще выпадает сумма семь. (Приложение 8). Шесть раз из тридцати шести случаев. Такие же математические расчеты я сделал сначала для трех игральных костей. (Приложение 9) Чаще выпадают суммы 10 и 11. Это по 27 случаев из 216. А реже всего выпадает - 3 и 18, всего по 1 случаю из 216. (Приложение 10) А затем для четырех игральных костей. (Приложение 11) Случаев всего 1296. Чаще всего выпадает сумма 14, это 146 случаев из 1296. А реже всего выпадает - 4 и 24, всего по 1 случаю из 1296. (Приложение 12)

Я нашел описание фокусов с игральными костями. Меня удивила простота и оригинальность некоторых фокусов. Принятый порядок расположения разметки на сторонах игральных костей лежит в основе многих фокусов с игральными костями. И я попробовал несколько фокусов проделать. У меня получилось. Но для успешного их проведения необходимо быстро и хорошо считать.

Фокус – это искусный трюк, основанный на обмане зрения при помощи ловких и быстрых приемов. От зрителей фокус всегда скрыт наполовину: они знают, что существует тайна, но представляют ее себе как нечто нереальное, непостижимое. Математические фокусы являются своеобразной демонстрацией математических закономерностей.

Успех каждого фокуса зависит от хорошей подготовки и тренировки, от легкости исполнения каждого номера, точного расчета, умелого владения приемами, необходимыми для проведения фокуса. Такие фокусы производят большое впечатление на зрителей и увлекают их.

Фокус 1. «Угадывание суммы»

Показывающий поворачивается спиной к зрителям, а в это время кто-нибудь из них бросает на стол три кости. Затем зрителя просят сложить три выпавших числа, взять любую кость и прибавить число на нижней грани к только что полученной сумме. Потом снова бросить эту же кость и выпавшее число опять прибавить к сумме. Показывающий обращает внимание зрителей на то, что ему никоем образом не может быть известно, какую из трех костей бросили дважды, затем собирает кости, встряхивает их в руке и тут же правильно называет конечную сумму.

Объяснение. Прежде чем собрать кости, показывающий складывает числа, обращенные к вверху. Добавив к полученной сумме, семерку, он находит конечную сумму.

Этот фокус опирается на свойство суммы чисел на противоположных гранях – она всегда равна семи.

Глава 2. Секрет игральных костей

2.1. Рассчитываем результат

Для того чтобы выяснить какая сумма выпадает чаще при бросании двух, трех, четырех и т. д. игральных костей я провел несколько экспериментов.

Перед началом работы составил таблицу для того, что бы вносить данные. В столбик записаны цифры от 2 до 12. Это суммы, которые могут выпадать при бросании двух игральных костей. На гладкую поверхность стола, чтобы не было посторонних помех, начал бросать кости. Каждую попытку отмечал напротив цифры выпавшей суммы – вертикальной черточкой.

Эксперимент 1:

1) Беру две игральные кости и стакан.

Эксперимент повторяю 400 раз.

Эксперимент помог выяснить какая, сумма выпадает чаще при бросании двух игральных костей. (Приложение 1 и 2)

Эксперимент 2 я провел с тремя игральными костями, для того чтобы выяснить, а какая сумма будет выпадать чаще теперь.

Эксперимент 2:

1) Беру три игральные кости и стакан.

2) Встряхиваю стакан с игральными костями.

3) Бросаю игральные кости на стол.

4) Подсчитываю сумму и отмечаю в таблице.

Эксперимент повторяю 400 раз.

Эксперимент помог выяснить какая, сумма выпадает чаще при бросании трех игральных костей. (Приложение 3 и 4)

Эксперимент помог мне убедиться в том, что при бросании трех игральных костей, выпавшая сумма иная, нежели, с двумя костями.

Эксперимент 3 я провел уже с четырьмя игральными костями, чтобы увидеть динамику изменений.

Перед началом работы опять составил таблицу для того, что бы вносить данные.

Эксперимент 3:

1) Беру четыре игральные кости и стакан.

2) Встряхиваю стакан с игральными костями.

3) Бросаю игральные кости на стол.

4) Подсчитываю сумму и отмечаю в таблице.

Эксперимент повторяю 400 раз.

Эксперимент помог мне убедиться в том, что при бросании четырех игральных костей, сумма, которая выпадает, опять другая. (Приложение 5 и 6)

Рассмотрев результаты экспериментов, мне стало понятно, почему чаще выпадают суммы находящиеся ближе к середине таблицы. Ведь сумма чисел на противоположных гранях всегда равна семи. Поэтому при бросании костей, больше вероятность, что выпадет сумма близкая к этой середине.

2.2. Сравниваем результаты

Сравнив результаты экспериментов с игральными костями (Приложения 1 - 6) и результаты математических расчетов (Приложения 7 - 12) я заметил, что чаще выпадает сумма, находящаяся ближе к середине. Поэтому я нашел среднее арифметическое суммы чисел на гранях игральной кости. (1+2+3+4+5+6) : 6 = 3,5. Получилось число 3,5. Затем я умножил это число на количество игральных костей. Если взять две игральные кости, то произведение 3,5 · 2 = 7. Число семь является тем числом, которое чаще выпадает при бросании двух игральных костей. Если взять три игральные кости, то получим 3,5 · 3 = 10,5. А так как число должно быть целым, то берутся два соседних числа. Это числа 10 и 11, они выпадают чаще при бросании трех игральных костей. Для любого количества игральных костей, рассчитать число, чаще выпадающее, можно по формуле 3,5 · n , (где n - число игральных костей). Причем, если n нечетное число, то берутся два соседних числа, для определения числа чаще выпадающего при бросании игральных костей.

Я рассмотрел библейский рисунок и нашел несоответствие. На двух игральных костях неправильно нанесены разметки. Так как сумма чисел на противоположных гранях должна быть равна семи. А на одной из игральных костей на верхней грани изображено - три, а на боковой - четыре, хотя четыре должно быть на нижней гране. На другой игральной кости, на верхней грани - пять, а на боковой - два. А возможно это потому, что в той местности была принята другая разметка на игральных костях.

Заключение

В своей работе я узнал секрет игральных костей. Этот секрет лежит на поверхности самих игральных костей. Секрет в расположении разметки. Сумма чисел на противоположных гранях всегда равна семи. С помощью экспериментов и математических расчетов я нашел сумму, которая выпадает чаще при бросании игральных костей, и которая зависит от числа игральных костей. Эту сумму можно записать в виде формулы 3,5 · n , где n число игральных костей. При изучении этой темы я узнал, что игральные кости возникли около 3000 лет до нашей эры. Места, где находили археологи самые древние предметы для игры – это Египет, Иран, Ирак и Индия. Узнал о многообразии форм и видов игральных костей. А так же, где используются игральные кости и свойства, которыми они обладают. Я совсем не рассматривал тему решения задач. Просто теория вероятности для меня пока сложная. Но надеюсь к ней еще вернуться.

Многие великие математики в разные времена решали задачи с игральными костями. Но мне не удалось найти автора формулы для нахождения наибольшей суммы при бросании игральных костей. Возможно, я недостаточно долго искал. Но я продолжу поиски. Мне интересно узнать, кто первый вывел эту формулу.

Список литературы

1. Азарьев энциклопедический словарь [Электронный ресурс] http://www. slovarus. ru/?di=72219

2. , Суворова о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов. – Ярославль: Академия развития, 2006. –192 с.

3. , Фрибус задачи. – М.: Просвещение, 1994. – 128 с.

4. Википедия свободная энциклопедия [Электронный ресурс] https://ru. wikipedia. org/wiki/Игральная_кость

5. Игорный бизнес. Пер. с англ. и фр. /НВЦ "Библиомаркет"; Ред.-сост. . - М. 1994. - 208 с.

6. Кости, зары, кубики [Электронный ресурс] http://www. /ru/articles/igralnye_kosti-34

7. Лютикас о теории вероятностей. – М.: Просвещение, 1983. – 127 с.

8. Никифоровский математики Бернулли. – М.: Наука, 1984. – 180 с.

9. За страницами учебника алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Просвещение, 1999. – 237 с.

10. 100 великих ученых. – М.: Вече, 2000. – 592 с.

11. Толковый словарь иностранных слов [Электронный ресурс] http:///search

12. Толковый словарь Ушакова [Электронный ресурс] http://www. /3/193/772800.html

13. Шень А. Вероятность: примеры и задачи. - М.: Издательство МЦНМО, 2008. – 64 с.

14. Яковлева задачи с игральными костями при изучении элементов теории вероятностей [Электронный ресурс] http://festival.1september. ru/articles/517883/

15. Яковлева и забавные фокусы с игральными костями [Электронный ресурс] http://festival.1september. ru/articles/624782/

Приложение 1. Результаты бросков 2 игральных костей

Приложение 2. Результаты бросков 2 игральных костей

Задачи на вероятность игральной кости не менее популярны, чем задачи о подбрасывании монет. Условие такой задачи обычно звучит так: при бросании одной или нескольких игральных костей (2 или 3), какова вероятность того, что сумма очков будет равна 10, или число очков равно 4, или произведение числа очков, или делится на 2 произведение числа очков и так далее.

Применение формулы классической вероятности является основным методом решения задач такого типа.

Одна игральная кость, вероятность.

Достаточно просто обстоит дело с одной игральной костью. определяется по формуле: P=m/n, где m - это число благоприятствующих событию исходов, а n - число всех элементарных равновозможных исходов эксперимента с подбрасыванием кости или кубика.

Задача 1. Один раз брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения четного числа очков?

Поскольку игральная кость собой представляет кубик (или его еще называют правильной игральной костью, на все грани кубик выпадет с одинаковой вероятностью, так как он сбалансированный), у кубика 6 граней (число очков от 1 до 6, которые обычно обозначаются точками), это значит, что в задаче общее число исходов: n=6. Событию благоприятствуют только исходы, при которых выпадает грань с четными очками 2,4 и 6, у кубика таких граней: m=3. Теперь можем определить искомую вероятность игральной кости: P=3/6=1/2=0.5.

Задача 2. Брошен один раз игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет не менее 5 очков?

Решается такая задача по аналогии с примером, указанным выше. При бросании игрального кубика общее число равновозможных исходов равно: n=6, а удовлетворяют условие задачи (выпало не менее 5 очков, то есть выпало 5 или 6 очков) только 2 исхода, значит m=2. Далее находим нужную вероятность: P=2/6=1/3=0.333.

Две игральные кости, вероятность.

При решении задач с бросанием 2-х игральных костей, очень удобно пользоваться специальной таблицей выпадения очков. На ней по горизонтали откладывается число очков, выпавших на первой кости, а по вертикали - число очков, которое выпало на второй кости. Заготовка имеет такой вид:

Но возникает вопрос, что же будет в пустых ячейках таблицы? Это зависит от задачи, которую потребуется решить. Если в задаче речь идет о сумме очков, тогда туда записывается сумма, а если про разность - значит записывается разность и так далее.

Задача 3. Брошены одновременно 2 игральные кости. Какова вероятность выпадения суммы менее 5 очков?

Для начала необходимо разобраться какое будет общее число исходов эксперимента. Все было очевидно при бросании одной кости 6 граней кубика - 6 исходов эксперимента. Но когда уже две кости, то возможные исходы можно представить как упорядоченные пары чисел вида (x, y), где х показывает сколько на первой кости выпало очков (от 1 до 6), а у - сколько выпало очков на второй кости (от 1 до 6). Всего таких числовых пар будет: n=6*6=36 (в таблице исходов им как раз соответствуют 36 ячеек).

Теперь можно заполнить таблицу, для этого в каждую ячейку заносится число суммы очков, которые выпали на первой и второй кости. Заполненная таблица выглядит так:

Благодаря таблице определим число исходов, которые благоприятствуют событию " выпадет в сумме менее 5 очков". Произведем подсчет числа ячеек, значение суммы в которых будет меньше числа 5 (это 2, 3 и 4). Такие ячейки для удобства закрашиваем, их будет m=6:

Учитывая данные таблицы, вероятность игральной кости равняется: P=6/36=1/6.

Задача 4. Было брошено две игральные кости. Определить вероятность того, что произведение числа очков будет делиться на 3.

Для решения задачи составим таблицу произведений очков, которые выпали на первой и на второй кости. В ней сразу же выделим числа кратные 3:

Записываем общее число исходов эксперимента n=36 (рассуждения такие же как в предыдущей задаче) и число благоприятствующих исходов (число ячеек, которые закрашены в таблице) m=20. Вероятность события равняется: P=20/36=5/9.

Задача 5. Дважды брошена игральная кость. Какова вероятность, что на первой и второй кости разность числа очков будет равна от 2 до 5?

Чтобы определить вероятность игральной кости запишем таблицу разностей очков и выделим в ней те ячейки, значение разности в которых будет между 2 и 5:

Число благоприятствующих исходов (число ячеек, закрашенных в таблице) равно m=10, общее число равновозможных элементарных исходов будет n=36. Определит вероятность события: P=10/36=5/18.

В случае простого события и при бросании 2-х костей, требуется построить таблицу, затем в ней выделить нужные ячейки и их число поделить на 36, это и будет считаться вероятностью.

Задачи 1.4 - 1.6

Условие задачи 1.4

Указать ошибку "решения" задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие А). "Решение". Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Событию А благоприятствует один исход, общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность равна P(A) = 1/2.

Решение задачи 1.4

Ошибка этого "решения" состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными. Правильное решение: общее число равновозможных исходов равно (каждое число очков, выпавших на одной кости, может сочетаться со всеми числами очков, выпавших на другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию только два исхода: (1; 2) и (2; 1). Значит, искомая вероятность

Ответ:

Условие задачи 1.5

Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность - четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение - четырем.

Решение задачи 1.5

а) Шесть вариантов на первой кости, шесть - на второй. Всего вариантов: (по правилу произведения). Варианты для суммы, равной 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) - всего шесть вариантов. Значит,

б) Всего два подходящих варианта: (6,2) и (2,6). Значит,

в) Всего два подходящих варианта: (2,6), (6,2). Но всего возможных вариантов 4: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Значит, .

г) Для суммы, равной 5, подходят варианты: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2). Произведение равно 4 только для двух вариантов. Тогда

Ответ: а) 1/6; б) 1/18; в) 1/2; г) 1/18

Условие задачи 1.6

Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на удачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а)одну; б)две; в)три.

Решение задачи 1.6

Всего образовалось 1000 кубиков. Кубиков с тремя окрашенными гранями: 8 (это угловые кубики). С двумя окрашенными гранями: 96 (так как 12 ребер куба с 8 кубиками на каждом ребре). Кубиков с окрашенной гранью: 384 (так как 6 граней и на каждой грани 64 кубика). Осталось разделить каждое найденное количество на 1000.

Ответ: а) 0,384; б) 0,096 в) 0,008

Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) - задача о подбрасывании игральных костей .

Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

Основной метод решения подобных задач - использование формулы классической вероятности , который мы и разберем на примерах ниже.

Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

Одна игральная кость

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ - число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ - число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость , то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию "выпало не менее 5 очков", то есть "выпало или 5, или 6 очков" удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков . По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали - число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ):

А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков - запишем туда сумму, про разность - запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней - 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ - сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ - сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6\cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию "в сумме выпадет менее 5 очков" исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:

Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в ).

Другие задачи про кости и кубики

Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ - сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ - сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ - сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.

Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Наиболее простой способ решения этой задачи - снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:

Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).

Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию "на первой кости выпало не более 4 очков" - то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.

Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$

Эту же задачу можно решить по-другому , используя формулу условной вероятности . Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид: $$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}. $$ Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ - $m(AB)=12$. Получаем: $$ P(A)=\frac{m(A)}{n}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}; \quad P(AB)=\frac{m(AB)}{n}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3};\\ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3}. $$ Ответы совпали.

Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз , а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать