Последовательные числа - это члены натурального ряда, идущие друг за другом. Натуральные числа - это числа, которые мы используем для счета предметов. 1, 2, 3, 4 - последовательные элементы натурального ряда.

Числовые последовательности

Последовательность - упорядоченный набор чисел, который образуется по определенному закону. Существует множество самых разных числовых наборов, самым простым и понятным из которых считается натуральный ряд. Первые числа, которые дети учат в начальных классах, это члены натуральной последовательности:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... n

Буквой n обозначается общий член последовательность, а для натурального ряда n считается и законом образования ряда. Закон последовательности - это форма записи принципа, по которому образуются члены ряда. Простой закон n означает, что номер элемента числового набора соответствует его значению. Первый элемент равен 1, второй - 2, десятый - 10. Для последовательности четных чисел, которая задается законом 2n, первый элемент набора будет равен 2, второй - 4, а десятый - 20. Набор нечетных чисел задается формулой 2n – 1, и в этом случай первый член ряда будет равен 1, второй - 3, десятый - 19.

Работа с числовыми наборами и законами их образования позволила математикам вывести формулы для определения сумм последовательных чисел натурального ряда.

Сложение последовательных чисел

Сумма первых n последовательных элементов натурального набора выражается следующей формулой:

∑ = 0,5 n × (n + 1)

Данная формула позволяет вычислить сумму натурального ряда от 1 до n. При сложении последовательных чисел не с первого элемента существует несколько хитростей, среди которых:

• для суммирования четырех последовательных чисел достаточно умножить наибольшее число на 4 и из результата отнять 6;
• для сложения любых пяти последовательных чисел достаточно умножить третий элемент набора на 5;
• для вычисления суммы шести последовательных чисел следует умножить наибольшее число на 6 и из результата вычесть 15.

Рассмотрим пару примеров:

• Сумма ряда от 1 до 10 вычисляется по формуле и равна 0,5 × 10 × 11 = 55.
• Сумма ряда 5 + 6 + 7 + 8 + 9 определяется как 7 × 5 = 35.
• Сумма ряда 57 + 58 + 59 + 60 вычисляется как 60 × 4 - 6 = 234.
• Сумма ряда 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 определяется как 26 × 6 - 15 = 141.

Правильность расчетов при помощи хитростей вы можете проверить на калькуляторе.

Сложение квадратов последовательных чисел

Более сложная задача состоит в суммирования последовательных чисел, возведенных в квадрат. Начало набора квадратов последовательных чисел выглядит как:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...

Такой набор чисел задается простой формулой n^2. Для определения суммы первых n членов квадратного ряда используется формула:

∑ = (n × (n + 1) × (2n + 1)) / 6

Для подсчета суммы первых пяти членов квадратной ряда 1 + 4 + 9 + 16 + 25, то есть n = 5, расчеты будут выглядеть как:

∑ = (5 × 6 × (2 × 5 + 1)) / 6 = 55

Сложение кубов последовательных чисел

Ряд последовательных чисел можно модифицировать и представить его в виде последовательности кубов. Это означает, что каждый член числового набора 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... n возводится в куб, и в результате мы получаем последовательность кубов:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 ... n^3

Для нахождения суммы первых n членов кубического ряда используется выражение:

∑ = (0,5 × n × (n+1))^2

Например, для нахождения значения ряда при n = 5, то есть выражения 1 + 8 + 27 + 64 + 125, расчеты будут выглядеть следующим образом:

∑ = (0,5 × 5 × 6)^2 = 15^2 = 225

При помощи этой простой формулы легко вычислить сумму кубов для сколь угодно большого n.

Наш калькулятор использует выше приведенные формулы для вычисления сумм квадратов или кубов натурального ряда для его первых n членов. Для расчетов вам необходимо выбрать тип калькулятора «Квадраты» или «Кубы», после чего ввести в ячейку количество элементов ряда. В теоретической части мы рассматривали сумму ряда из 5 членов, а при помощи онлайн-калькулятора легко рассчитать большие суммы.

Примеры использования

Рассчитаем сумму квадратов для 250 членов натурального ряда, то есть решим выражение 1 + 4 + 9 + … + 62 500. Для этого введем в форму калькулятора число 250 и получим мгновенный результат, равный 5 239 625.

Теперь вычислим сумму кубов для 250 членов натурального ряда, что будет равнозначно решению выражения 1 + 8 + 27 + … + 15 625 000. Изменим тип калькулятора и выберем «Куб», после чего введем в ячейку программу число 250. Наш результат не заставит себя ждать, и мы увидим 984 390 625.

Заключение

Для подсчета конечных сумм последовательных рядов используются простые формулы, которые, однако, не всегда удобно применять при повседневных расчетах. Используйте нашу программу для мгновенного подсчета значения квадратных и кубических рядов.

Тип урока: Изучение нового материала, выработка алгоритма решения основных типов задач по данной теме.

Цели урока:

Вывести формулы для вычисления n первых членов арифметической прогрессии;

Научить учащихся применять выведенные формулы в различных типах задач;

Воспитание внимательности;

Расширение кругозора.

Ход урока

Сегодня мы продолжаем изучать арифметическую прогрессию. Мы уже изучили формулу а.п., умеем её применять. Немного повторим.

I. Проверка знаний:

• Какая последовательность называется арифметической прогрессией?
• Что такое d, как его можно найти?
• Что достаточно знать, чтобы арифметическая прогрессия была задана?
• Что такое рекуррентная формула для последовательности?
• Какой вид имеет формула n-го члена арифметической прогрессии?
• Какой вид должна иметь формула n-го члена последовательности, чтобы эта последовательность была арифметической прогрессией?
• Исключите лишнюю последовательность:

а) 3; 7; 11; 15;…
б) 1; 4; 9; 16;…
в) 2; 9; 16; 23;…
г) 1; 3; 5; 7;…

II. Фокус:

Учитель вызывает ученика и ставит его спиной к доске, говорит что-то ему на ухо и открывает доску, на которой записаны 23 чисел: 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; 28; 31; 34; 37; 40; 43; 46; 49; 52; 55; 58; 61; 64; 67. Учитель предлагает учащимся называть номер числа, а ученик мгновенно называет само число. Учитель предлагает учащимся объяснить, как ему это удается.

(Ученику была сообщена формула n-го члена: а n = 3n – 2)

III. Задание

Найти седьмые члены следующих арифметических прогрессий:

а) (а n): -6;, -3, 0…;
б) (а n): а 1 = 6, d = 5;
в) а n = 27 – 6n;
г) (а n): а 1 = -26, d = 7;
д) (а n): 4; 6; 8…;

Сопоставить полученные ответы буквам в шифре и прочитать зашифрованное слово.

Таблица шифра:

Ответ: Гаусс.

Карл Гаусс (1777– 1855).

Это фамилия немецкого ученого-математика, астронома, геодезиста. Он еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Как-то учитель гимназии, в которой учился Карл Гаусс, предложил учащимся найти сумму чисел от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за 1 минуту. Сообразив, что 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98… и 101·50 = 5050.

Какая задача была предложена Гауссу? (Нужно было найти сумму 100 первых членов арифметической прогрессии, где первый член равен 1, а разность арифметической прогрессии равна 1.

IV. Сообщение темы урока и его целей:

Итак, тема нашего урока сегодня “Сумма n первых членов арифметической прогрессии”. Сегодня на уроке мы выведем формулы n первых членов арифметической прогрессии, научимся их применять в различных типах задач.

V. Изучение нового материала.

И сейчас мы выведем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии простым и наглядным способом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой.

Например, фигура АВСD изображает прогрессию 2; 5; 8; 11; 14.

Чтобы определить сумму ее членов, дополним чертеж до прямоугольника ABGE. Получим две равные фигуры ABCD и GEDC.

Площадь каждой из них изображает сумму членов данной прогрессии. Значит, двойная сумма прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т.е. (AD + DE) · AB, но AD + DE изображает сумму первого и пятого членов прогрессии. Поэтому двойная сумма:

2S n = (сумма крайних членов) · (число членов),

Открыть учебники на стр. п. Прочитаем вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Формулу (*) можно преобразовать следующим образом:

VI. Применим эту формулу:

Найти сумму первых 30 членов последовательности (а n), заданной формулой а n = 3n – 2.

Здесь а 1 = 3·1 – 2 = 3 – 2 = 1,

а 30 = 3·30 – 2 = 90 – 2 = 88.

Какой формулой можно воспользоваться? (*)

Пример II . Найти сумму первых 20 членов арифметической прогрессии 4; 7; 10;… Здесь а 1 = 4, d = 10 – 7 = 7 – 4 = 3. Применим (**) формулу:

Пример III. Математический папирус Ринда (или Райнда) (ок. XXI–XVIII вв до н.э.) – (по имени английского ученого, расшифровавшего его), Ахмеса – (по имени древнеегипетского писца) – древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650г. до н.э. Математический папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера, сейчас находится в Британском музее. Папирус Ринда имеет заголовок “Наставление, как достигнуть знания всех неизвестных вещей …всех тайн, содержащихся в вещах”.

Проблема №R64. "Пример разделения на части. Если кто-то говорит вам: у нас есть 10 heqat пшеницы на 10 человек, но есть разница между ними в 1/8 heqat пшеницы. В среднем это 1 heqat. Вычитаем 1 из 10, получаем 9. Возьмем половину от разницы, т.е. 1/16. Умножим на 9. Далее 1/2 и 1/16 heqat прибавим к среднему значению и вычтем 1/8 heqat у каждого последующего человека. Вот расчеты того, о чем с вами говорим: ".

Проблема заключается в том, чтобы поделить 10 heqat пшеницы между 10 людьми. Обозначим людей: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 и H10. S – это общее количество, т.е. 10 heqat пшеницы. N – количество частей. У каждого разное количество heqat. При этом у каждого на 1/8 heqat больше, чем у предыдущего. Пусть H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8 и т.д., у последнего больше всех пшеницы. Шаг прогрессии составляет R = 1/8.

S 10 =10, n = 10, d = , a 1 -?

S n =

10 =

Ответ: первый получит

VII. Выполним упражнения:

№ 369 (самостоятельно, 2 человека за доской, с последующей самопроверкой)

№ 370. Какой формулой воспользуемся?

VIII. Домашнее задание:

В знаменитом египетском папирусе Ринда есть любопытная задача. Папирус этот, разысканный Риндом в конце XIX столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. Эта задача считается самой древней из задач на арифметическую прогрессию. В вольном переводе она звучит так:

Переведем эту задачу на язык арифметической прогрессии:

I – а 1
II – а 1 + d
III – а 1 + 2d
IV – а 1 + 3d
V – а 1 + 4d.

Кроме того, а 1 + а 1 + d < а 1 + 2d + а 1 + 3d + а 1 + 4d в 7 раз.

Составим систему уравнений:

а 1 + а 1 + d + а 1 + 2d + а 1 + 3d + а 1 + 4d = 100,

7(а 1 + а 1 + d) = а 1 + 2d + а 1 + 3d + а 1 + 4d.

Предлагаю решить эту задачу дома аналитически.

П. 17, примеры 1-4 разобрать по учебнику, № 371, 373, задача из папируса Ринда, из дополнительной литературы найти задачу на арифметическую прогрессию.

IX. Подведение итогов.

Задача из папируса Ринда. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько мер хлеба нужно дать каждому?

Эта математическая программа находит \(S_n\) - сумму n первых членов арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \(a_1, a_n \) и \(n \).
Числа \(a_1 \) и \(a_n \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной дроби (\(2,5 \)) и в виде обыкновенной дроби (\(-5\frac{2}{7} \)).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Числа \(a_1 \) и \(a_n \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \(n \) может быть только целым положительным.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \(-\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \(-1\frac{2}{3} \)

Введите числа a 1 , a n , n

Найти сумму S n

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере . Немного теории. Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит. Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
где N - число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a n .

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Число a 1 называют первым членом последовательности , число a 2 - вторым членом последовательности , число a 3 - третьим членом последовательности и т. д.
Число a n называют n-м (энным) членом последовательности , а натуральное число n - его номером .

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... а 1 = 1 - первый член последовательности; а n = n 2 является n-м членом последовательности; a n+1 = (n + 1) 2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой задана последовательность

Арифметическая прогрессия

Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.

Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.

Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями .

Определение.
Числовая последовательность a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... называется арифметической прогрессией , если для всех натуральных n выполняется равенство

где d - некоторое число.

Из этой формулы следует, что a n+1 - a n = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии .

По определению арифметической прогрессии имеем:

откуда
, где

Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.

Отметим, что если a 1 и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле a n+1 = a n + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например, для a 100 уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической прогрессии



и т.д.
Вообще,

так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии .

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.

Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Пусть S n - сумма n первых членов этой прогрессии:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна

Так как , то заменив в этой формуле a n получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии :

Похожие статьи