Первое числовое множество, с которым сталкиваются учащиеся еще начальных классов - множество натуральных чисел. В математике существует два способа его построения. Количественные натуральные числа отождествляются с мощностью непустого конечного множества (построение по Кантору), порядковые натуральные числа построены на основе аксиом Пеано:
Да, возможно, что один набор ограничен и бесконечен одновременно. Множество натуральных чисел ограничено снизу на ноль, но неограниченно превосходит и, следовательно, бесконечно. Подмножества натуральных чисел. Множество натуральных чисел имеет некоторые известные.
Определение числовых множеств
Операции в числовых наборах. Этот вопрос также можно запросить в следующем виде: Численные наборы - операции и свойства. Сгруппировав элементы со схожими характеристиками, дадим имя набора. Когда эти элементы являются числами, такие множества называются численными множествами.
Натуральным числом называются элементы непустого конечного множества N , в котором существует отношение «непосредственно следует за» и выполняются аксиомы:
1. Существует натуральное число единица, не следующее ни за каким натуральным числом.
2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число.
В этом разделе мы рассмотрим пять фундаментальных численных множеств, которые являются наиболее широко используемыми численными наборами. В какой-то момент вашей жизни вы заинтересовались количеством и количеством. Возможно, первое возникновение этой потребности было тогда, когда ему было два или три года, к нему приехал какой-то одноклассник и начал играть со своими игрушками. Возможно, даже в это время, не зная его, вы начали использовать натуральные числа, после того, как все это было необходимо, чтобы гарантировать, что ни один из их игрушек изменили владелец и даже не знает о существовании чисел, вы почувствовали потребность в системе нумерации.
3. Всякое натуральное число, кроме единицы, следует за одним и только одним натуральным числом.
4.
Пусть М подмножество множества N. Если
1
,
и из допущения, что натуральное число
п
М следует, что М принадлежит и п (число,
непосредственно следующее за п), то
M
N
.
В такой ситуации вам понадобится самый простой набор чисел, который представляет собой набор натуральных чисел. Используя этот набор, вы можете либо перечислить игрушки, либо просто зарегистрировать их количество, например. Ниже мы представляем множество натуральных чисел.
Операции натуральными числами
Клавиши используются в представлении, чтобы дать представление о наборе. Точки сдержанности дают идею бесконечности, так как числовые множества бесконечны. Этот числовой набор начинается с нуля и бесконечен, однако мы можем иметь представление только его подмножества. Ниже приводится подмножество набора натуральных чисел, образованных четырьмя четырьмя кратными семи.
В школьном курсе математики на наглядно-интуитивной основе представлены оба эти способа: каждое новое число появляется из анализа количества предметов, представленных на рисунках, а далее довольно четко выясняется и упорядоченность, и дискретность множества натуральных чисел.
Термин «натуральное число» ввел римский автор Боэций (475 – 524). Систематическое изучение натуральных чисел начинается в 5-м классе. Основная цель темы «Натуральные числа» - обобщение и закрепление тех сведений о множестве натуральных чисел, которые получены учащимися еще в начальной школе. Особое внимание уделяется позиционной записи любого натурального числа, выполнению поразрядного сравнения натуральных чисел. Вводятся символы = , >, <.
Выполнение операций в наборе натуральных чисел означает, что результат этой операции должен быть натуральным. Точно так же в других операциях. Позже в вашей жизни в очень холодную ночь вы осознали существование отрицательных чисел, сообщив вам, что в этот день температура была на два градуса ниже нуля. Любопытно, что вы хотели знать, что это значит, поэтому кто-то, заметив ваш интерес, решил объяснить.
За исключением нуля, каждое из натуральных чисел имеет симметричный или противоположный. Противоположность 1 равна -1, 2 равна -2 и т.д. знак - указывает, что это отрицательное число, поэтому меньше нуля. Естественные числа из 1 по своей природе положительны и нуль равен нулю.
При изучении арифметических операций над натуральными числами учителю необходимо достаточно отчетливо представлять себе различие в требованиях к технике вычислений, к обоснованию этой техники и теории операций. К технике вычислений надо предъявлять самые жесткие требования - это основа (фундамент) всей вычислительной культуры учащихся. Твердого обоснования техники выполнения операций требовать не следует. Достаточно, если учащиеся будут выполнять эти операции и пользоваться их свойствами («на» - сложение или вычитание, «в» - умножение или деление). Наиболее дифференцированно приходится подходить к теории самих операций.
Ниже представлено представление целых чисел. Заметим, что в отличие от натуральных чисел, которые, хотя и бесконечны, имеют начальное число, нулевые целые числа, а также другие фундаментальные числовые множества, не имеют, так сказать, отправной точки. В этом наборе нуль является центральным элементом, потому что для каждого номера справа от него есть соответствующая противоположность его левому.
Мы используем символ, указывающий, что множество содержится в другом, или что это подмножество вашей, так как множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, мы должны. Как уже упоминалось выше, мы можем написать для представления множества целых чисел, но без учета нуля.
Понятие сложения вообще не определяется и считается интуитивно ясным из опыта предшествующего обучения. Хотя понятие вычитания тоже интуитивно ясно учащимся, но относительно него вводится строгое определение, которое остается неизменным для всех числовых и даже нечисловых множеств (вычесть из числа а число в - это значит найти такое число с, которое, будучи сложенным с числом в , даст число а ). Операция умножения вводится специальным определением, справедливым лишь на множестве
За исключением множества натуральных чисел, с другими фундаментальными численными множествами мы можем использовать символы и, как показано ниже. Для выполнения умножения и деления между целыми числами необходимо использовать набор сигналов. Умный по своей природе вы поняли, что для этого есть нечто большее. На термометре вы видели, что между одним номером и рядом было несколько разметки.
Это числа, принадлежащие множеству рациональных чисел. Рациональные числа - это все те, которые могут быть выражены в форме дробей. Числитель и знаменатель этой доли должны принадлежать множеству целых чисел, и, очевидно, знаменатель не может быть равен нулю, так как нет деления на ноль.
N (а * в = а+а+...+а ). Деление опять строго определяется (а:в = с <=> с*в = а).
Хотя глава и называется «Натуральные числа», фактически же в ней изучаются целые неотрицательные числа. И здесь ученики должны твердо усвоить двоякий смысл термина «нуль» (нуль - цифра и нуль - число). Поэтому необходимо научиться оперировать с нулем: 0+а = а; а+0 = а; 0*а = 0; а*0 = 0; 0:а = 0; обоснование невозможности деления на нуль в учебнике Н.Я. Виленкина проводится на основании определения операции деления: а:0 = х <=> х*0 = а, что неверно, 0:0 = х <=> х*0 = 0, но в качестве х можно взять любое число.
Это простая периодическая десятина, которая также может быть представлена как, но которая, несмотря на это, также является рациональным числом, поскольку она может быть выражена как. Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел, поэтому мы имеем.
Мы можем легко понять, что он представляет множество отрицательных рациональных чисел и представляет собой набор положительных или нулевых рациональных чисел. Ниже мы имеем четырехэлементное множество, являющееся подмножеством множества рациональных чисел.
Лучшему усвоению учащимися множества натуральных чисел способствует изучение некоторых вопросов делимости. По отношению делимости на данное натуральное число n множество N разбивается на два непересекающихся класса: натуральные числа, делящиеся на n и натуральные числа, не делящиеся на n. По числу делителей - {простые}, {составные}, {1}. Рассматриваются признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 и деление с остатком.
Набор иррациональных номеров
Реализация любой из четырех арифметических операций между любыми двумя рациональными числами также приведет к рациональному числу, очевидно, в случае деления, дивизор должен быть отличным от нуля. Затем еще более любопытно, что вы спросили: «Если рациональные числа - это все те, которые могут быть выражены в форме дробей, то есть ли те, которые не могут быть выражены таким образом?».
Множество иррациональных чисел
Именно эти числа принадлежат множеству иррациональных чисел. Если вы хотите вычислить такой корень, остальная часть вашего существования исчезнет, и вы никогда не сможете этого сделать, потому что это число имеет бесконечные десятичные знаки и в отличие от десятины, они не являются периодическими и не могут быть выражены в виде доли. Это особенность иррациональных чисел.
В результате изучения натуральных чисел у учащихся на наглядно-интуитивной основе должно быть сформировано:
знание свойств натуральных чисел (множество N - бесконечно, дискретно, упорядоченно, ограничено снизу);
понимание того факта, что операция умножения на N не определяется;
определение операции вычитание, умножение и деление;
Квадратный корень из натуральных чисел является большим источником иррациональных чисел, ведь квадратный корень любого натурального числа, который не является идеальным квадратом, является иррациональным числом. является иррациональным числом, поскольку 120 не является идеальным квадратом, то есть нет натурального числа, которое умножается на себя, составляет сто двадцать, это уже естественное число, потому что.
Множество натуральных чисел
Нижеприведенное множество является подмножеством множества иррациональных чисел. В отличие от рациональных чисел выполнение любой из четырех арифметических операций между любыми двумя иррациональными числами не обязательно приведет к иррациональному числу. Результат может принадлежать или принадлежать.
умение работать с числами 0 и 1.
Теоретический материал в учебниках излагается в виде фрагментов, а затем идет решение задач и примеров.
В учебнике 5-го класса приводятся определения следующих понятий:
Натуральное число, десятичная запись числа, миллиард,
Координатный луч,
Сумма, разность, произведение двух натуральных чисел,
Мы также видели, что рациональные числа не содержатся в множестве иррациональных чисел и наоборот. Пересечение этих множеств приводит к пустому множеству. Пересечение - это операция, через которую мы получаем множество всех элементов, принадлежащих одновременно всем задействованным множествам. Пусть - два множества, а пересечение между этими двумя множествами будет.
Объединение - это операция, через которую мы получаем множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из задействованных множеств. Пусть - два множества, и объединение этих двух множеств будет. Ниже приведен пример набора, содержащего действительные числа.
Числовое выражение,
Делитель числа, кратные числа,
Совершенное число, простое число, дружественные числа.
Похожие статьи
