Симметрическая разность была определена в §2 формулой
Эта операция обладает свойствами:
Для доказательства равенства (3) преобразуем его левую и правую части, затем с помощью (8), (9), (10), (11) §4 получим:
Определение разности множеств
Разность множеств определяется как метод переупорядочения множеств путем удаления элементов, принадлежащих другому набору. Разность множеств обозначается символами - или \\. Представляя его на диаграмме Венна. 
Симметричная разность множеств ассоциативна.
Свойство симметрической разности
Ниже приведены некоторые из проблем, основанных на различии множеств. Найдите разницу между двумя наборами? Решение. В своем классическом эссе «Тематические протографы и выбор аргументов» Дэвид Доути занимается вопросом о тематических ролях и статусе субъекта, и в частности о проблеме выбора аргументов, с которыми связаны тематические роли, с которыми связаны грамматические отношения. Необходимо прояснить принципы, которыми этот выбор работает. К традиционному подходу к связыванию сдержанных ролей с грамматическими отношениями Даути отвечает предложением ввести только две роли, а именно «прото-агенты» и «прото-патиенс», которые можно охарактеризовать их логическим продолжением.
Таким образом,
множество
состоит из элементов, принадлежащихили
всем трем множествам А
,
В
,
С
,
или только
одному из них.
Чтобы привести к такому же виду правую часть равенства (3), достаточно заметить, что в силу (2):
Тогда, заменяя в
правой части выражения для
буквыА
,
В
,
С
соответственно
на С
,
А
,
В
получим:
Цель эссе - не прояснить все проблемы, связанные с тематическими ролями в истории исследований, а представить новое определение прото-ролей. Теория тематических ролей служит введением в поле семантики глагола, потому что свойства тематических ролей, как всегда определено, выведены из значения глагола.
В Разделе 2 Доути дает исходное определение тематических ролей: «наиболее общим понятием тематической роли является совокупность вложений группы предикатов по одному из аргументов каждого из них». Поэтому Тематическая Роль представляет собой набор логических последствий из набора предикатов в отношении их аргументов. Из этого можно сделать точное различие между очень похожими глаголами. Кошка говорит: Я не такой.
Что совпадает с (х).
Из свойства (2), (3)
следует, что, принимая операцию «
»
к конечному числу множеств, можно
опускать скобки, указывающие порядок
действий.
в) Свойство дистрибутивности :
Согласно (6) -
С сердцем, который дергается и пугает. Мышь и я, то это то, что. Если мы рассмотрим два термина «свежее» и «поедание» в этом примере, мы обнаружим, что глагол «есть», по-видимому, назначает две разные тематические роли. Это ставит вопрос о том, действительно ли «еда» и «еда» представляют собой тематические роли.
Каковы тематические роли? В предыдущем разделе уже указывалось, как термин «тематическая роль» может быть сформулирован с Доути, а именно понятие логического вывода. Давайте теперь рассмотрим один из двух примеров, упомянутых выше: если есть событие «есть», в нем есть «едок». Теперь возникает вопрос: что мы знаем об этом человеке, когда знаем, что это людоед?
из §4 можем записать:
У операции «»
аналогия с операцией «
».
Пустое множество
является нулевым элементом (модулем)
для операции «»,
то есть:
Возможные первые ответы и их обзор. «Существо что-то делает!» - Здесь мы также можем спросить, есть ли это в любом случае, во всех применениях глагола. Если есть регулярное использование глагола «есть» здесь, это будет случай, когда вывод о действии живого существа не возникает. Однако можно утверждать, что это метафора, то есть, чтобы показать использование, которое не просто употребляет словесный смысл глагола. Как это, когда мы говорим, что машина ест «бензин»? . До тех пор, пока у нас нет теории о значении метафор и о том, как классифицировать их в семантике, не следует полагаться на такие случаи, чтобы спорить о свойствах тематических ролей или против них. - Можно, однако, также сослаться на следующее: если кто-то «используется» в отношении потребления бензина автомобилем здесь «есть», объект «автомобиль» - это, пожалуй, просто метафорическая живость и активность.
(5)
В самом деле, .
Доказанные выше
теоремы не позволяют заметить различие
между операциями «»
и «».
Такое различие становится заметным в
последующих теоремах. Прежде всего:
В такой степени можно было бы также обнаружить, что нечто подобное должно присутствовать в буквальном смысле от того, каким образом метафоры описывают вещи. Понятие логического вывода всегда связано с вопросом, гарантируется ли заключение или заключение глаголом как таковым.
Важно четко различать, является ли это фактически логической последовательностью или просто умозаключением. Вывод - еще один термин, который также включает выводы, полученные из повседневных знаний; что обычно происходит. Логические последствия - это те, которые возникают чисто логически или по смыслу слова.
(6).
Сравнить:
.
Операция сложения не имеет обратной.
Выше мы видели,
что операция вычитания множеств не
является обратной к сложению. Но операция
«–» имеет обратную: для произвольных
А
и С
существует одно и только одно такое
множество В
,
что
,
а именно
.
Это приводит к сильной связи между тематическими ролями и значением слова. Значение глагола в основном устанавливает тематическую роль существительного. Эбенди думает, что Доути говорит о «аналитических последствиях». Таким образом, тематические роли также можно назвать последователями из значения глагола. Мы исходим из непосредственного словесного значения и, как правило, цепляем диапазон значений трансцендентного слова. Вот почему язык относится к «логическому или жесткому типу» тематических ролей.
Индивид меняет в ментальном смысле; так что контент, который кто-то или что-то думает, изменится. Примечание. . Применение классификации типов повторителей к различным примерам может привести к нескольким ролям для аргумента. Первый вид рассуждений вписывается во множество глаголов - это всего лишь одна тематическая роль?
Иначе говоря,
(7)
В самом деле, из (3), (5), (6) следует, что , что и доказывает (7).
Если же
,
тои, следовательно,в силу (7).
Однако теперь наше определение термина «тематическая роль» вступает в игру, которое мы определили как «совокупность последствий», а не как одно следствие. Поэтому мы должны формировать количества из последствий. Если мы посмотрим на отдельные последствия, у нас нет этой проблемы. «Умышленно вовлекается» В этом отношении было бы более уместно, как только было сказано, обобщить и обобщить. Однако эта новая роль будет по-прежнему соответствовать роли классического агента во многих частях. Проблема остается прежней: можем ли мы тем самым присвоить каждому возможному аргументу роль, чтобы никто «не упал с сетки» и не сыграл никакой роли?
Таким образом, из (7), (8) следует, что операция «–» имеет обратную и этой обратной операцией является она сама.
В алгебре и теории
чисел изучаются совокупности объектов,
обычно называемых числами с определенными
на них двумя операциями «+» и «
»
(сложение и умножение), обладающими
следующими свойствами:
Например, если верно только вывод и вывод? Возможной попыткой было бы сказать: роль «агент» состоит в множестве последствий, которые не всегда должны применять все. Роли «агента» и «субъекта» являются благоприятными резюме выводов. Кроме того, аргументы не могут попасть в так называемую «трещину» между двумя ролями. Однако наш примерный анализ показал, что существуют такие трещины. Если мы посмотрим на индивидуальные последствия, мы сможем сделать задание на ролл.
Существует два типа тематических ролей. Тип рулона. . Кроме того, термин «тематическая роль» остается очень переменным. Ключевое слово: функция индексирования. Роли тэта используются для индексации аргументов глагола. Типы могут быть определены в соответствии с различными теориями. В пассивном глаголе требуется только один аргумент. Патиенс, который был объектом раньше, теперь становится предметом. Таким образом, тета-роли не совпадают с терминами.
I. 
коммутативность;
II. ассоциативность;
Такие совокупности называются кольцами (точнее, абелевыми или коммутативными кольцами).
Алгебраические вычисления в кольцах выполняются точно так же, как в обычной арифметике. При доказательствах правил счета в арифметике, относящихся к сложению, вычитанию и умножению, мы используем только тот факт, что числа образуют коммутативное кольцо с единицей.
Получатель является субъектом предложения и должен действовать как агент. Однако возникает вопрос, является ли глагол, как представляется, предметом предложения тематической ролью? Отдельные тематические роли назначают индивидуальную тематическую роль для каждого глагола - например, может быть тематическая роль хита для глагола, который попадает. В такой модели нет междисциплинарных ролей, хотя их существование не исключается.
Модель отдельных тематических ролей развивалась из сомнений относительно предыдущей модели, которую Джекендофф называет тематическими типами рулонов. Было высказано сомнение в том, что любой аргумент может быть отнесен к тематической роли. В качестве решения этой проблемы была разработана модель отдельных тематических ролей.
Формулы (2) - (8)
настоящего параграфа показывают, что
множества образуют кольцо (без единицы),
если роль «суммы» играет операция «»,
а роль «произведения» - операция «
».
Так как «»
не имеет обратной операции, (
,
но
),
то
не образуют кольцо (так как условиеIV
не выполняется). Но
удовлетворяют условиямI
- VII.
Предыдущий раздел «Тематические роли как глупости от значения глагола». Во многих вводных книгах представлены списки семантических ролей, которые предназначены для практической классификации и часто являются характеристиками аргументов. Однако часто неясно, как должны определяться отдельные роли и может ли такой список быть полным.
Доути критикует это предположение. Термины Основание и фигура являются переменными свойствами. Однако это противоречит определению тематических ролей: «тематические роли являются следствиями из предиката». Фигура и причина зависят от контекста, индивидуального, поэтому плохого кандидата для тематической роли. Согласно Доути, тематические роли должны быть зависимыми от событий.
Если в качестве
основных операций применять операции
«»
и «»,
то все вычисления в алгебре множеств
производятся точно так же, как в обычной
арифметике, но при этом можно опускать
все показатели степеней, а все коэффициенты
приводить по модулю 2 (то есть).
Тематические роли, зависящие от событий. Аргументация Доута: Тематические роли - это последствия от значения глагола. Они также идентифицируют события? Описание события - типичное значение глагола, но оно не может применяться ко всем глаголам. Понятие события в широком смысле также включает в себя состояния. Однако этот термин определен позже. Соответственно, тематические роли, как глупости от значения глагола, связаны с событиями.
Давайте рассмотрим этот «девиз», с которым Даути вводит концепцию инкрементной темы в наиболее важных терминах. Согласно этому, «гомоморфизм» между «обозначением» аргумента темы и областью событий называется сокращенным. Термин «обозначение» обозначает класс объектов, который может быть обозначен выражением. Глаголы обозначают события, поэтому «область событий» - это просто обозначение глагола. Объяснение роли «инкрементной темы» в настоящее время основано главным образом на математическом понятии гомоморфизма.
Этот факт имеет
тем большее значение, что операции «»
и «\» можно выразить через операции «»
и «»,
благодаря чему всю развитую в предыдущих
параграфах алгебру множеств можно
истолковать в рамках арифметики
введенного вышекольца
множеств
. В
самом деле, легко проверить равенства:
Математически это изображение, которое преобразует алгебраическую структуру в другую, сохраняя некоторые свойства первого. Поэтому упоминается определение «структурированных» дентотаций Даути. Структура, которую он имеет в виду, представляет собой частичную целую структуру, и это структура, которая должна быть сохранена в образе.
Мы можем использовать пример «кошения луга», который мы можем «структурировать» луг, если хотим, на части. Таким образом, это «структурированная область обозначений аргумента темы»: обозначение «луг» состоит в объектах, связанных с этим словом, т.е. х, которые являются лугом, а структурирование - частичной цельной структурой. Это то, что мы сейчас делаем с событиями.
Например
: 
(10)
Из (9), (10) следует, что если множества А и В не пересекаются, то
(11)
Гомоморфизм возникает, когда частичная структура объектов точно такая же, как и у событий. Достаточно вспомнить: частичная структура аргумента объекта и события соответствует одной вещи; для каждой части объекта есть часть события, в котором именно эта часть объекта была подвергнута событию. Другими словами, событие проходит шаг за шагом по отдельным частям объекта. Это приводит к очень важному результату: ограничение объекта используется для ограничения события. Затем скашивание луга завершается, когда последняя часть луга сокращается.
Применение симметрической разности проиллюстрируем на следующем примере.
Пусть X - множество, J - непустое семейство его подмножеств (то есть множество, элементами которого являются подмножества множества X ), удовлетворяющее условиям
(12)
Семейство J , для которого выполнимы эти условия, называется идеалом (J ).
Например 
Пусть 
значит J
- идеал.
О двух подмножествах
А
и В
множества X
говорят, что они равны по модулю J
,
если
.
(Например.из предыдущего примера).
Это записывается в виде:
,
или просто
,
если идеалJ
зафиксирован.
Поскольку
,
то в силу (6)
,
то есть отношение
«
»рефлексивно
(reflexio),
обращение назад - одно из свойств
отношений, когда каждый элемент множества
находится в данном отношении к самому
себе (например a
=
b
и
).
Из (2) следует, что
,
то есть отношение «
»симметрично
.
Наконец из тождества следует, что, поскольку симметрическая разность двух множеств содержится в их сумме. Тогда в силу (12)
то есть отношение
«
»
-транзитивно
.
Если заменить в
некоторых из предыдущих определений
знак «=» знаком «
»,
получим новые понятия. Например, два
множества А
и В
называются непересекающимися
по модулю
J
,
если
;
множествоА
является подмножеством множества В
по модулю J
,
если
и тому подобные.
Понятие множества является базовым в математике, на его основе формируются другие понятия. В силу своей общности - это неопределяемое понятие.
Под множеством принято понимать любое собрание (совокупность) определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами данного множества.
В приведенном выше описании понятия множества, которое принадлежит основателю теории множеств немецкому математику Г. Кантору, существенным является то, что собрание объектов (множество) само рассматривается как один предмет, как нечто целое. Относительно предметов, которые могут входить во множество, допускается значительная свобода. Важно, что наша интуиция должна, во-первых, отделять их один от другого даже тогда, когда их нельзя точно указать (например, множество простых чисел), во-вторых, давать ответ на вопрос о принадлежности объекта данному множеству. Последнее тесно связано со способами задания множеств.
Тот факт, что объект а является элементом множества А, другими словами а принадлежит множеству (содержится в множестве) А, символически обозначается а А. В противном случае пишут а А.
Г. Кантор сформулировал несколько интуитивных принципов, которые естественно считать выполняющимися для произвольных множеств. В частности интуитивный принцип объемности, который оговаривает условия равенства (тождественности) объектов нашей теории, а, следовательно, и их различия.
Интуитивный принцип объемности. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Записывают А = В, если А и В равны, и А В - в противном случае.
Пример. Пусть А - множество действительных корней уравнения х 2 - 7х + 6 = 0 , а множество В состоит из чисел 1 и 6. Числа 1, 6 и только они являются корнями уравнения, следовательно, в силу принципа объемности заключаем, что А = В.
Множество А, элементами которого являются объекты а 1 , а 2 , ... , а n и только они, обозначают А = {а 1 , а 2 , ... , а n }.
Упражнение. Приведите два примера равных множеств.
Подмножества (Включение, универсум, пустое множество, множество всех подмножеств р(а)).
Если каждый элемент множества А являются одновременно и элементом множества В, то А называют подмножеством множества В, и пишут А В. В случае, когда А В, но А В, говорят, что А есть собственное подмножество В, и обозначают А В.
Ясно, что: 1) А А;
2) если А В, В С, то А С;
3) если А В, В А, то А = В.
Нужно различать отношения принадлежности () и включения (). Если А = {а 1 , а 2 ,... , а n }, то а 1 А, но а 1 А, т.к. а 1 не является множеством, а значит и подмножеством А. Однако, если ввести в рассмотрение множество А 1 , состоящее из одного элемента а 1 , А 1 = {а 1 }, то А 1 А или {а 1 } А.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается .
Например, множество действительных корней уравнения х 2 + 1 = 0 является пустым множеством. Этот простой пример иллюстрирует целесообразность введения понятия пустого множества.
Пустое множество есть подмножество любого множества. Если определить множество С = {}, то оно содержит элемент - пустое множество.
Сами множества могут становиться элементами других множеств. Если А = { а 1 , а 2 }, В = { b 1 , b 2 }, то D = { A, B } не содержит в качестве элементов а 1 или b 1 , т.е. а 1 D , но А D.
Для множества {a, b} рассмотрим все его подмножества: {a}, {b}, {a, b} и . Тогда множество {, {a}, {b}, {a, b}} представляет из себя - “множество всех подмножеств“ исходного множества {a, b}. Аналогично, для любого множества А можно определить множество всех его подмножеств S(A).
Множество, элементами которого являются все возможные элементы всех возможных множества, принято называть универсальным множеством (универсумом) и обозначать U. Таким образом, всякое множество является подмножеством универсального множества U.
Упражнения. 1.Приведите 2 – 3 примера множеств и их некоторых подмножеств.
2. Определите сколько элементов содержит множество S(A), если множество А содержит 0, 1, 2, 3, … , n элементов.
Похожие статьи
