Определение расположения эквипотенциален и построение силовых линий электрических полей. Эквипотенциальные поверхности

Связь между напряженностью и потенциалом.

Для потенциального поля, между потенциальной (консервативной) силой и потенциальной энергией существует связь

где ("набла") - оператор Гамильтона.

Поскольку то

Знак минус показывает, что вектор Е направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности - поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше. На рисунке пунктиром изображены силовые линии, сплошными линиями - сечения эквипотенциальных поверхностей для: положительного точечного заряда (а), диполя (б), двух одноименных зарядов (в), заряженного металлического проводника сложной конфигурации (г).

Для точечного заряда потенциал поэтому эквипотенциальные поверхности - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Можно показать, что во всех случаях вектор Е перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и всегда направлен в сторону убывания потенциала.

Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических полей в вакууме.

1. Электростатическое поле электрического диполя в вакууме.

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом) называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+q,-q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля (l<< r).

Плечо диполя l - вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними.

Электрический момент диполя ре - вектор, совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению модуля заряда |q| на плечо I:

Пусть r - расстояние до точки А от середины оси диполя. Тогда, учитывая что

2)Напряженность поля в точке В на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины при

Точка В равноудалена от зарядов +q и -q диполя, поэтому потенциал поля в точке В равен нулю. Вектор Ёв направлен противоположно вектору l .

3)Во внешнем электрическом поле на концы диполя действует пара сил, которая стремится повернуть диполь таким образом, чтобы электрический момент ре диполя развернулся вдоль направления поля Ё (рис.(а)).



Во внешнем однородном поле момент пары сил равен M = qElsin а или Во внешнем неоднородном поле (рис.(в)) силы, действующие на концы диполя, неодинаковы и их результирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большей напряженностью - диполь втягивается в область более сильного поля.

2. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны.

В качестве Гауссовой поверхности примем поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны заряженной плоскости, а основания параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от нее на одинаковых расстояниях.

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности, то поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания 2ES. Заряд, заключенный внутри цилиндра, равен . По теореме Гаусса откуда:

Е не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю. Такое поле называется однородным.

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х1 и х2 от плоскости, равна

3.Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей с равными по абсолютному значению поверхностными плотностями зарядов σ>0 и - σ.

Из предыдущего примера следует, что векторы напряженности Е 1 и E 2 первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направлены перпендикулярно плоскостям. Поэтому в пространстве вне плоскостей они компенсируют друг друга, а в пространстве между плоскостями суммарная напряженность . Поэтому между плоскостями

(в диэлектрике. ).

Поле между плоскостями однородное. Разность потенциалов между плоскостями.
(в диэлектрике ).

4.Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена равномерно с поверхностной плотностью

Поскольку система зарядов и, следовательно, само поле центрально-симметрично относительно центра сферы, то линии напряженности направлены радиально.

В качестве Гауссовой поверхности выберем сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд q. По теореме Гаусса , откуда

При r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и r 2 от центра сферы

(r1 >R,r2 >R), равна

Вне заряженной сферы поле такое же, как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, поэтому потенциал всюду одинаков и такой же, как на поверхности

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ.

Между напряженностью электрического доля и электрическим потенциалом существует интегральная и дифференциальная связь:

j 1 - j 2 = ∫ Е dl (1)

E = -grad j (2)

Электрическое поле может быть представлено графически двумя способами, дополняющими друг друга: с помощью эквипотенциальных поверхностей и ли­ний напряженности (силовых линий).

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Линия пересечения ее с плоскостью чертежа называется эквипотенциалью. Силовые линии - линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е . На рисунке 1 пунктирными линиями показаны эквипотенциали, сплошными - силовые линии электрического поля.


Рис.1

Разность потенциалов между точками 1 и 2 равна 0, так как они находятся на одной эквипотенциали. В этом случае из (1):

∫Е dl = 0 или ∫Е dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Поскольку Е и dl в выражении (3) не равны 0, то cos ( Edl ) = 0 . Следовательно, угол между эквипотенциалью и силовой линией составляет p/2.

Из дифференциальной связи (2) следует, что силовые линии всегда направлены в сторону убывания потенциала.

Величина напряженности электрического поля определяется «густотой» сило­вых линий. Чем гуще силовые линии, тем меньше расстояние между эквипотенциалями, так что силовые линии и эквипотенциали образуют "криволинейные квадраты". Исходя из этих принципов, можно построить картину силовых линий, располагая картиной эквипотенциалей, и наоборот.

Достаточно полная картина эквипотенциалей поля позволяет рассчитать в раз­ных точках значение проекции вектора напряженности Е на выбранное направ­ление х , усредненное по некоторому интервалу координаты ∆х :

Е ср. ∆х = - ∆ j /∆х,

где ∆х - приращение координаты при переходе с одной эквипотенциали на дру­гую,

j - соответствующее ему приращение потенциала,

Е ср. ∆х - среднее значение Е х между двумя потенциалами.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ.

Для моделирования электрического поля удобно использовать аналогию, су­ществующую между электрическим полем, созданным заряженными телами и электрическим полем постоянного тока, текущего по проводящей пленке с одно­родной проводимостью. При этом расположение силовых линий электрического поля оказывается аналогично расположению линий электрических токов.

То же утверждение справедливо для потенциалов. Распределение потенциалов поля в проводящей пленке такое же, как в электрическом поле в вакууме.

В качестве проводящей пленки в работе используется электропроводная бума­га с одинаковой во всех направлениях проводимостью.

На бумаге устанавливаются электроды так, чтобы обеспечивался хороший кон­такт между каждым электродом и проводящей бумагой.

Рабочая схема установки приведена на рисунке 2. Установка состоит из модуля II, выносного элемента I, индикатора III, источника питания IV. Модуль служит для подключения всех используемых приборов. Выносной элемент представляет собой диэлектрическую панель 1, на которую помещают лист белой бумаги 2, по­верх нее - лист копировальной бумаги 3, затем - лист электропроводящей бумаги 4, на котором крепятся электроды 5. Напряжение на электроды подается от моду­ля II с помощью соединительных проводов. Индикатор III и зонд 6 используются для определения потенциалов точек на поверхности электропроводящей бумаги.

В качестве зонда применяется провод со штекером на конце. Потенциал j зонда равен потенциалу той точки поверхности электропроводящей бумаги, которой он касается. Совокупность точек поля с одинаковым потенциалом и есть изображе­ние эквипотенциали поля. В качестве источника питания IV используется блок питания ТЕС – 42, который подключается к модулю с помощью штепсельного разъема на задней стенке модуля. В качестве индикатора Ш используется вольт­метр В7 – 38.



ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

1. Установить на панели 1 лист белой бумаги 2. На него положить копироваль­ную бумагу 3 и лист электропроводящей бумаги 4 (рис.2).

2. Установить на электропроводящей бумаге электроды 5 и закрепить гайками.

3. Подключить к модулю блок питания IV (ТЕС – 42) с помощью штепсельного разъема на задней стенке модуля.

4. С помощью двух проводников подключить индикатор III (вольтметр В7 – 38) к гнездам "PV" на лицевой панели модуля. Нажать соответствующую кнопку на вольтметре для измерения постоянного напряжения (рис.2).

5. С помощью двух проводников подключить электроды 5 к модулю П.

6. Подключить зонд (провод с двумя штекерами) к гнезду на лицевой панели модуля.

7. Подключить стенд к сети 220 В. Включить общее питание стенда.

Электростатическое поле можно охарактеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий.

Силовая линия – это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительно заряженном теле и заканчивающаяся на отрицательно заряженном теле, проведенная таким образом, что касательная к ней в любой точке поля дает направление напряженности в этой точке.

Силовые линии замыкаются на положительных и отрицательных зарядах и не могут замыкаться сами на себя.

Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал ().

Если рассечь электростатическое поле секущей плоскостью, то в сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Эти следы называют эквипотенциальными линиями.

Эквипотенциальные линии являются замкнутыми сами на себя.

Силовые линии и эквипотенциальные линии пересекаются под прямым углом.

Р
ассмотрим эквипотенциальную поверхность:

(так как точки лежат на эквипотенциальной поверхности).

– скалярное произведение

Линии напряженности электростатического поля пронизывают эквипотенциальную поверхность под углом 90 0 , тогда угол между векторами
равен 90 градусам, а их скалярное произведение равно 0.

Уравнение эквипотенциальной линии

Рассмотрим силовую линию:

Н
апряженность электростатического поля направлена по касательной к силовой линии (см. определение силовой линии), также направлен и элемент пути, поэтому угол между этими двумя векторами равен нулю.

или

Уравнение силовой линии

Градиент потенциала

Градиент потенциала – это скорость возрастания потенциала в направлении кротчайшем между двумя точками.

Между двумя точками имеется некоторая разность потенциалов. Если эту разность разделить на кратчайшее расстояние между взятыми точками, то полученное значение будет характеризовать скорость изменения потенциала в направлении кратчайшего расстояния между точками.

Градиент потенциала показывает направление наибольшего возрастания потенциала, численно равен модулю напряженности и отрицательно направлен по отношению к нему.

В определении градиента существенны два положения:

    Направление, в котором берутся две близлежащие точки, должно быть таким, чтобы скорость изменения была максимальной.

    Направление таково, что скалярная функция в этом направлении возрастает.

Для декартовой системы координат:

Скорость изменения потенциала в направлении оси Х, Y, Z:

;
;

Два вектора равны только тогда, когда равны друг другу их проекции. Проекция вектора напряженности на ось Х равна проекции скорости изменения потенциала вдоль оси Х , взятой с обратным знаком. Аналогично для осей Y и Z .

;
;
.

В цилиндрической системе координат выражение градиента потенциала будет иметь следующий вид.

Эквипотенциальные поверхности и силовые линии электростатического поля.

Хотелось бы иметь возможность наглядно представить себе электростатическое поле. Поле скалярного потенциала можно геометрически представить себе как совокупность эквипотенциальных поверхностей (в плоском случае - линий), или поверхностей уровня, как их называют математики:

Для каждой такой поверхности имеет место условие (в силу определения!):

(*)

Представим это условие в эквивалентной форме записи:

Здесь принадлежит рассматриваемой поверхности, вектор перпендикулярным элементу поверхности (скалярное произведение неравных нулю векторов равно нулю именно при этом условии). Мы имеем возможность определит единичный вектор нормали к рассматриваемому элементу поверхности:

Если вернуться к физике, заключаем, что вектор напряжённости электростатического поля перпендикулярен эквипотенциальной поверхности этого поля!

Математическое содержание понятия "градиент скалярного поля" :

Направление вектора - это направление, в котором функция возрастает наиболее быстро;

Это приращение функции на единице длины вдоль направления максимального возрастания.

Как построить эквипотенциальную поверхность?

Пусть эквипотенциальная поверхность, заданная уравнением (*), проходит через точку пространства с координатами (x,y,z ). Зададим произвольно малые смещения двух координат, например x=>x+dx и y=>y+dy. Из уравнения (*) определяем необходимое смещение dz , такое, чтобы конечная точка осталась на рассматриваемой эквипотенциальной поверхности. Таким способом можно "добраться" до нужной точки поверхности.

Силовая линия векторного поля .

Определение. Касательная к силовой линии совпадает по направлению с вектором, определяющим рассматриваемое векторное поле.

Вектор и вектор совпадают по направлению (т.е. параллельны друг другу), если

В координатной форме записи имеем:

Легко видеть, что справедливы соотношения:

К такому же результату можно придти, если записать условие параллельности двух векторов с помощью их векторного произведения:

Итак, имеем векторное поле . Рассмотрим элементарный вектор как элемент силовой линии векторного поля .

В соответствие с определением силовой линии должны выполняться соотношения:

(**)

Так выглядят дифференциальные уравнения силовой линии. Получить аналитическое решение этой системы уравнений удаётся в очень редких случаях (поле точечного заряда, постоянное поле и т.п.). Но построить графически семейство силовых линий несложно.

Пусть силовая линия проходит через точку с координатами (x,y,z ). Значения проекций вектора напряжённости на координатные направления в этой точке нам известны. Выберем произвольно малое смешение, например, х=>x+dx . По уравнениям (**) определяем требуемые смещения dy и dz . Так мы перешли в соседнюю точку силовой линии, Процесс построения можно продолжить.

NB! (Nota Bene!). Силовая линия не полностью определяет вектор напряжённости. Если на силовой линии задано положительное направление, вектор напряжённости может быть направлен либо в положительную, либо в отрицательную сторону (но по линии!). Силовая линия не определяет модуль вектора (т.е. его величину) рассматриваемого векторного поля.

Свойства введённых геометрических объектов:

Графическое изображение полей, можно составить не только с линиями напряженности, но и с помощью разности потенциалов. Если объединить в электрическом поле точки с равными потенциалами, то мы получим поверхности равного потенциала или как еще их называют эквипотенциальные поверхности. В пересечении с плоскостью чертежа эквипотенциальные поверхности дают эквипотенциальные линии. Изображая эквипотенциальные линии, которые соответствуют различным значениям потенциала, мы получаем наглядную картину, которая отражает, как изменяется потенциал конкретного поля. Перемещение вдоль эквипотенциальной поверхности заряда работы не требует, так как все точки поля по такой поверхности имеют равный потенциал и сила, которая действует на заряд, всегда перпендикулярна перемещению.

Следовательно, линии напряженности всегда перпендикулярны поверхностям с равными потенциалами.

Наиболее наглядная картина поля будет представлена, если изображать эквипотенциальные линии с равными изменениями потенциала, например в 10 В, 20В, 30 В и т.д. В таком случае скорость изменения потенциала будет обратно пропорциональна расстоянию между соседними эквипотенциальными линиями. То есть густота эквипотенциальных линий пропорциональна напряженности поля (чем выше напряженность поля, тем теснее изображаются линии). Зная эквипотенциальные линии, можно построить линии напряженности рассматриваемого поля и наоборот.

Следовательно, изображения полей с помощью эквипотенциальных линий и линий напряженности равнозначны.

Нумерация эквипотенциальных линий на чертеже

Довольно часто эквипотенциальные линии на чертеже нумеруют. Для того, чтобы указать разность потенциалов на чертеже, произвольную линию обозначают цифрой 0, возле всех остальных линий расставляют цифры 1,2,3 и т.д. Эти цифры указывают разность потенциалов в вольтах избранной эквипотенциальной линии и линии, которую выбрали нулевой. При этом отмечаем, что выбор нулевой линии не важен, так как физический смысл имеет только разность потенциалов для двух поверхностей, и она не зависит от выбора нуля.

Поле точечного заряда с положительным зарядом

Рассмотрим как пример поле точечного заряда, который имеет положительный заряд. Линиями поля точечного заряда являются радиальные прямые, следовательно, эквипотенциальные поверхности - это система концентрических сфер. Линии поля перпендикуляры поверхностям сфер в каждой точке поля. Эквипотенциальными линиями же служат концентрические окружности. Для положительного заряда рисунок 1 представляет эквипотенциальные линии. Для отрицательного заряда рисунок 2 представляет эквипотенциальные линии.

Что очевидно из формулы, которая определяет потенциал поля точечного заряда при нормировке потенциала на бесконечность ($\varphi \left(\infty \right)=0$):

\[\varphi =\frac{1}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0}\frac{q}{r}\left(1\right).\]

Система параллельных плоскостей, которые находятся на равных расстояниях друг от друга, является эквипотенциальными поверхностями однородного электрического поля.

Пример 1

Задание: Потенциал поля, создаваемый системой зарядов, имеет вид:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,\]

где $a,b$ -- постоянные больше нуля. Какова форма имеют эквипотенциальных поверхностей?

Эквипотенциальные поверхности, как мы знаем, -- это поверхности, в которых в любых точках потенциалы равны. Зная вышесказанное, изучим уравнение, которое предложено в условиях задачи. Разделим правую и левую части уравнения $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ на $\varphi $, получим:

\[{\frac{a}{\varphi }x}^2+{\frac{a}{\varphi }y}^2+\frac{b}{\varphi }z^2=1\ \left(1.1\right).\]

Запишем уравнение (1.1) в каноническом виде:

\[\frac{x^2}{{\left(\sqrt{\frac{\varphi }{a}}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\sqrt{\frac{\varphi }{a}}\right)}^2}+\frac{z^2}{{\left(\sqrt{\frac{\varphi }{b}}\right)}^2}=1\ (1.2)\]

Из уравнения $(1.2)\ $ видно, что заданной фигурой является эллипсоид вращения. Его полуоси

\[\sqrt{\frac{\varphi }{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi}{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi}{b}}.\]

Ответ: Эквипотенциальная поверхность заданного поля -- эллипсоид вращения с полуосями ($\sqrt{\frac{\varphi }{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi }{a}},\ \sqrt{\frac{\varphi }{b}}$).

Пример 2

Задание: Потенциал поля, имеет вид:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)-bz^2,\]

где $a,b$ -- $const$ больше нуля. Что представляют собой эквипотенциальные поверхности?

Рассмотрим случай при $\varphi >0$. Приведем уравнение, заданное в условиях задачи к каноническому виду, для этого разделим обе части уравнения на $\varphi ,$ получим:

\[\frac{a}{\varphi }x^2+{\frac{a}{\varphi }y}^2-\frac{b}{\varphi }z^2=1\ \left(2.1\right).\]

\[\frac{x^2}{\frac{\varphi }{a}}+\frac{y^2}{\frac{\varphi }{a}}-\frac{z^2}{\frac{\varphi }{b}}=1\ \left(2.2\right).\]

В (2.2) мы получили каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Его полуоси равны ($\sqrt{\frac{\varphi }{a}}\left(действительная\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\varphi }{a}}\left(действительная\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\varphi }{b}}(мнимая\ полуось)$).

Рассмотрим случай, когда $\varphi

Представим $\varphi =-\left|\varphi \right|$ Приведем уравнение, заданное в условиях задачи к каноническому виду, для этого разделим обе части уравнения на минус модуль $\varphi ,$ получим:

\[-\frac{a}{\left|\varphi \right|}x^2-{\frac{a}{\left|\varphi \right|}y}^2+\frac{b}{\left|\varphi \right|}z^2=1\ \left(2.3\right).\]

Перепишем уравнение (1.1) в виде:

\[-\frac{x^2}{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}-\frac{y^2}{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}+\frac{z^2}{\frac{\left|\varphi \right|}{b}}=1\ \left(2.4\right).\]

Мы получили каноническое уравнение двуполостного гиперболоида, его полуоси:

($\sqrt{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}\left(мнимая\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\left|\varphi \right|}{a}}\left(мнимая\ полуось\right),\ \sqrt{\frac{\left|\varphi \right|}{b}}(\ действительная\ полуось)$).

Рассмотрим случай, когда $\varphi =0.$ Тогда уравнение поля имеет вид:

Перепишем уравнение (2.5) в виде:

\[\frac{x^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2}-\frac{z^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)}^2}=0\left(2.6\right).\]

Мы получили каноническое уравнение прямого круглого конуса, который опирается на эллипс с полуосями $(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$;$\ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$).

Ответ: В качестве эквипотенциальных поверхностей для заданного уравнения потенциала мы получили: при $\varphi >0$ -- однополостной гиперболоид, при $\varphi



Похожие статьи