Формулы приведения косинуса расписаны довольно подробно для самых разных углов. Начнем с того, что тригонометрическая функция косинус является четной тригонометрической функцией. А это как? На знак минус перед значением угла при нахождении косинуса можно вообще не обращать внимания. Как будто минуса нет совсем. Значение косинуса отрицательного угла альфа будет точно таким же, как и значение косинуса положительного угла альфа. Как видите, есть в математике такие штучки, которые имеют иммунитет к отрицательным значениям. На картинке вы можете увидеть эту формулу в самой верхней строчке.
Действие 1: Исследование: формулы сокращения для значений функций 180 ° ± θ
Напишите следующее в виде одного тригонометрического отношения. Используйте формулы сокращения, чтобы записать значения тригонометрической функции в терминах острых углов и \\.
Упражнение 1: Формулы сокращения для значений функций \\
Определите значение следующих выражений без использования калькулятора.Нужна помощь в учебе?
Напишите следующее в терминах одного тригонометрического отношения. Если \\, выражаем следующее через \\. Из работы с функциями мы знаем, что граф \\ имеет период \\. Поэтому одна полная волна синусоидального графа совпадает с одним полным оборотом для \\ в картезианской плоскости.
Первый столбик в формулах образуют углы в радианной и градусной мерах. В радинах измеряются те углы, которые имеют волшебную буковку пи. Пи/2, пи, 3пи/2 и 2пи - это и есть значения угла в радианах. Им соответствуют 90, 180, 270 и 360 градусов. Это записано для тех, кто испытывает затруднения в переводе углов из градусов в радианы и обратно. Такой себе пешеходный тригонометрический переход. Улица называется "Угол", а у этой улицы есть два тротуарчика для пешеходов. Один тротуарчик называется "Радианы", с его стороны дома имеют номера пи/2 (пи пополам), пи, 3пи/2 (три вторых пи), 2пи (два пи) и так дальше до самой Америки))) Другой тротуарчик называется "Градусы", здесь дома имеют номера 90, 180, 270, 360 и так дальше. Когда мы стоим стоим на этой улице, свое точное местоположение мы можем определять по номеру ближайшего дома. Этот номер будет или в радианах, или в градусах, смотря на каком тротуаре мы стоим и в какую сторону от дороги смотрим. Допустим, ми прочли адрес "Угол 3пи/2". Переходим на противоположную сторону улицы - мы уже находимся по адресу "Угол 270 градусов". Место одно и то же, но называется по-разному. Таковы причуды придуманной нами математики. Но мы немного отвлеклись от формул приведения косинуса.
Пример 2: Формулы сокращения для значений функции \\
Мы также можем иметь несколько оборотов. Это ясно показывает периодичность тригонометрических графов. Полная кривая синуса или косинуса завершена в \\. Если \\, выразить в терминах \\.
Пример 3. Использование формулы восстановления
Оцените без использования калькулятора.Упражнение 2: Использование формулы сокращения
Учитывая, что \\, используйте эскиз, чтобы объяснить, почему. Действие 3: Исследование: формулы сокращения для значений функций 90 ° ± θ.
В любом прямоугольном треугольнике два острых угла являются дополнениями друг к другу, \\
Дополнительные углы - это положительные острые углы, которые составляют до 90 °. Например, 20 ° и 70 ° являются дополнительными углами.Над надписью "Математика для блондинок", в среднем столбике, расположены формулы приведения косинуса для суммы углов. Если большой угол представить в виде суммы разных комбинаций прямого угла (угол в пи/2 или 90 градусов называется прямым) и угла альфа, то кусочки такого угла, кратные прямому углу, можно выбросить. Вместо косинуса большого угла, мы получим значение косинуса или синуса острого угла (углы от 0 до пи/2 радиан или от 0 до 90 градусов называются острыми). Теперь это значение можно довольно просто найти по или . Кстати, в этих таблицах даны значения для углов аж до 360 градусов или 2пи. Можете проверить формулы приведения, сравнив значения для больших углов и острых углов, выполнив преобразования по формулам приведения.
Синус и косинус называются ко-функциями. Значение функции угла равно кофункции его дополнения. Таким образом, для синуса и косинуса мы имеем. Синус и косинусные графики ясно иллюстрируют это: два графика идентичны, за исключением того, что они имеют разность фаз.
Напишите каждое из следующего в терминах \\
Пример 4: Использование правила совместной работы. Упростить выражение, используя формулы сокращения и совместные функции. Формулы сокращения и со-функции. Формулы восстановления справедливы для любого угла \\. Для удобства предположим, что \\ - острый угол. При определении значений функции, и функция не изменяется. При определении значений функции и функции изменяется ее совместная функция.
Ниже на картинке написаны формулы приведения для разности комбинаций прямых углов и угла альфа. То есть, если большое значение угла представить как комбинацию прямого угла минус угол альфа.
В последнем столбике представлены формулы приведения для случая, если мы к углу альфа будем прибавлять или вычитать из угла альфа комбинации из прямых углов. Например, если к углу альфа прибавить прямой угол, то косинус этакого угла будет равен отрицательному значению синуса исходного угла альфа. Если из угла альфа вычесть прямой угол, то косинус такого угла будет равняться синусу исходного угла альфа.
- Его радиус равен единице.
- Его центр - это начало координат.
- Его тригонометрические отношения не зависят от радиус-вектора.
Учитывая анализ признаков тригонометрических отношений правого треугольника, который формирует вектор, который образует угол с осями симметрии, знак различных тригонометрических отношений в каждом из квадрантов определяется элементарным образом. Знаки следующие.
Они относятся к разделу «тригонометрия» в математике. Суть их заключается в приведении тригонометрических функций углов к более «простому» виду. О важности их знания написать можно много. Этих формул аж 32 штуки!
Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!» – это значит, что действительно, это необходимо именно выучить.
Существуют специальные уголки для того, как часто вы работаете с ними. Они появляются в решении большинства упражнений, которые предлагаются на всех уровнях. Эти углы называются замечательными углами, а их тригонометрические соотношения хорошо известны всем.
В следующей таблице приведены тригонометрические соотношения этих углов. Тригонометрические причины для заметных углов. Чтобы увидеть их тригонометрические причины, математики предоставили таблицу, которая собирает эти данные, и поиск их очень прост. Эти таблицы можно найти в учебниках математики кубинской школы десятого класса и далее.
Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.
Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например:
– задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.
– задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.
– задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.
– стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.
И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.
Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?
Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от 0 до 450 градусов:
угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов
* * *
Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:
1. Определите знак функции в соответствующей четверти.
Напомню их:
2. Запомните следующее:
функция изменяется на кофункцию
функция на кофункцию не изменяется
Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?
Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.
Вот и всё!
Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:
Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:
Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов, значит:
Вот вам ещё дополнительное подтверждение того, что синусы смежных углов равны:
Угол лежит во второй четверти, синус во второй четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов, значит:
В дальнейшем, применяя свойство периодичности, четности (нечётности) вы без труда определите значение любого угла: 1050 0 , -750 0 , 2370 0 и любые другие. Статья об этом в будущем обязательно будет, не пропустите!
Когда в решениях задач буду использовать формулы приведения, то обязательно буду ссылаться на эту статью, чтобы вы всегда смогли освежить в памяти представленную выше теорию. На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.
Получить материал статьи в формате PDF
С уважением, Александр Крутицких .
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Похожие статьи
