Для того, чтобы узнать, сколько в градусе радиан, необходимо воспользоваться простым онлайн калькулятором. Введите в левое поле интересующее вас количество градусов, которое вы хотите конвертировать. В поле справа вы увидите результат вычисления. Если необходимо перевести градусы или радианы в другие единицы измерения, просто кликните по соответствующей ссылке.
Зачем понадобилось вводить новую единицу измерения угла?
Как преобразовать градусы в радианы или радианы в градусы. Один радиан - это угол дуги, созданный путем обертывания радиуса круга вокруг его окружности. На этой диаграмме радиус был обернут вокруг окружности, создавая угол 1 радиан. Розовые линии показывают, что радиус перемещается изнутри круга наружу.
Преобразование радианов в градусы
Вот почему окружность круга определяется. Умножая это на 180є, мы скажем ответ в градусах.
Преобразование градусов в радианы
Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала найдите количество полукругов в ответе, разделив их на 180є. Он также рисует угол как дугу окружности. Шаг 2Введите угол, чтобы преобразовать. Для градусов просто введите число.Что такое «градус»
Градус – общепринятая и чаще всех других используемая единица измерения плоских углов, равная 1/360 части окружности, 1/180 развернутого угла, и 1/90 прямого угла. Наименование «градус» происходит от латинского gradus – деление, фрагмент, шаг, и в тексте обозначается символом (°), (1° – один градус).
Причины выбора шестидесятиричной системы деления угловых величин, приведшей к возникновению градуса, как измерительной единицы, достоверно неизвестны, но есть версия, что в Древнем Вавилоне аккадские математики поделили окружность на шесть равных частей с помощью равностороннего треугольника, что и стало основой такого исчисления. Учитывая, что форма шестигранника широко распространена в естественных природных структурах, таких как кристаллы (форма обычной снежинки к примеру), или пчелиные соты, этот выбор был очевидно вполне обоснован.
Радианы и градусы - это два типа единиц измерения углов. Таких единиц очень много, но степени и радианы - это те, с которыми вы, скорее всего, столкнетесь в старшей школе и колледже. Градусы используются для выражения как направленности, так и угла. Если вы стоите лицом к северу, вы сталкиваетесь с направлением нулевого градуса, обозначенным как 0 °. Если вы полностью развернетесь, так что вы снова окажетесь на севере, вы «повернули» на 360 °; т.е. один полный оборот равен 360 °.
Почему один оборот разделен на 360 частей под названием «градусы»? Поскольку древние вавилоняне, которые теперь на четыре-пять тысяч лет умерли, рассматривали цифры 6, 12 и 60 как имеющие особое религиозное значение. Из-за них у нас есть двенадцать часов ночи и двенадцать часов, каждый час делится на шестьдесят минут и каждую минуту делится на шестьдесят секунд.
Помимо того, в некоторых древних календарях, в частности, в зороастрийском (древнеперсидском) и древнеегипетском, продолжительность года составляла 360 дней, а 5 дополнительных дней (эпагоменов) считались священными днями принятия «жребия». Так же по 5 дополнительных дней содержали и 360-дневные календари майя и ацтеков. Так что, вполне возможно, в корне шестидесятиричной системы лежат и культовые причины.
Таким образом, полный оборот равен 360 °, а полуоборот - 180 °. Если вы начнете, повернув на север, а затем поверните на юг, вы совершите половину оборота, половину оборота или пройдете на полпути вокруг круга. У вас также будет «развернуто» 180 °. Если вы начнете снова, обратившись на север, а затем поверните на восток, вы сделаете поворот на 90 ° или одну четверть, и вы будете стоять лицом к 90 °. Если вы начнете смотреть на север, а затем поверните на запад, вы совершите еще один поворот на 90 °, но на этот раз вы столкнетесь до 270 °.
Это связано с тем, что направленные градусы начинаются с 0 ° для «севера», а затем идут по часовой стрелке. Если, сделав свой четверть оборота с «северного» на «запад», вы прямо держите руку прямо перед собой, и ваша рука будет «сметена» под углом 90 °. Этот угол был бы сформирован исходным положением вашего плеча и конечной позицией вашего плеча. Путь ваших кончиков пальцев по мере продвижения вашей руки будет «дугой», и угол, через который вы повернули, называется «подстроить» эту дугу.
Что такое «радиан»
Радиан (рад, rad) – угол, соответствующий дуге, по длине равной радиусу окружности. Системная единица измерения плоских углов. Радианная мера угла – это отношение длины дуги окружности, расположенной между сторонами угла, к радиусу этой окружности. Вершина этого угла совпадает с центром окружности, при этом радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла. Так как величина угла равна отношению длины дуги окружности к длине её радиуса, радиан является безразмерной величиной. Безразмерность в данном случае означает, что единица измерения – «1», называемая «радиан». Радиан был принят как единица измерения плоских углов в системе СИ в 1960 году.
Примечание. Когда направления указаны с точки зрения степеней, направление определяется, начиная с «северного», составляя 0 °, и перемещая по часовой стрелке на количество заданных градусов. Они означают «36 градусов к западу от севера» и «27 градусов к востоку от юга» соответственно.
Независимо от того, какую конвенцию использует ваша книга, следует конкретно указать в книге; спросите своего инструктора, если это не ясно. И да, этот способ измерения направления отличается от того, как вы будете измерять углы. Но так же, как «75» часов могут быть выражены как «1 час и 45 минут», так и «градусы» можно выразить в терминах меньших единиц. Эти единицы, как и для «часов», называются «минутами» и «секундами».
Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
В предыдущем уроке мы освоили отсчёт углов на тригонометрическом круге. Узнали, как отсчитывать положительные и отрицательные углы. Осознали, как нарисовать угол больше 360 градусов. Пришла пора разобраться с измерением углов. Особенно с числом "Пи", которое так и норовит запутать нас в хитрых заданиях, да...
Или 6 минут и 15 минут. Каждой минуте шестьдесят секунд. Вы уже знали, что надстрочный круг означает «градусы». Теперь вы можете видеть, что одиночная кавычка указывает «минуты», а двойная кавычка означает «секунды». Это похоже на обозначение «ноги» и «дюймы». Вы можете сохранить обозначения напрямую, помня, что, как и в случае с «ногами» и «дюймами», меньший блок получает более крупный маркер.
Ясно, что у меня есть 102 °, но как конвертировать минуты и секунды в десятичную форму? Каждая степень содержит шестьдесят минут. Упрощение этой фракции, а затем выполнение длинного разделения, дает мне. Таким образом, 45 составляет 75 °. Теперь мне нужно иметь дело с 54.
Стандартные задания по тригонометрии с числом "Пи" решаются неплохо. Зрительная память выручает. А вот любое отклонение от шаблона - валит наповал! Чтобы не свалиться - понимать надо. Что мы с успехом сейчас и сделаем. В смысле - всё поймём!
Итак, в чём считаются углы? В школьном курсе тригонометрии используются две меры: градусная мера угла и радианная мера угла . Разберём эти меры. Без этого в тригонометрии - никуда.
Но это число, 9, находится в терминах минут; это означает «девять десятых одной минуты дуги». Мне нужно преобразовать 9 минут в значение в градусах. Поскольку в одной градусе шестьдесят минут, тогда. Попробуйте введенное упражнение или введите собственное упражнение.
Почему мы должны учиться радианам, когда у нас уже есть отличные степени? Потому что градусы, технически говоря, на самом деле не являются числами, и мы можем делать только математику с числами. Это несколько похоже на разницу между десятичными знаками и процентами. Да, «83%» имеет четкое значение, но для математических вычислений вы должны сначала преобразовать в эквивалентную десятичную форму, 83. Что-то подобное происходит здесь.
Градусная мера угла.
К градусам мы как-то привыкли. Геометрию худо-бедно проходили... Да и в жизни частенько встречаемся с фразой "повернул на 180 градусов", например. Градус, короче, штука простая...
Да? Ответьте мне тогда, что такое градус? Что, не получается с ходу? То-то...
Градусы придумали в Древнем Вавилоне. Давненько это было... Веков 40 назад... И придумали просто. Взяли и разбили окружность на 360 равных частей. 1 градус - это 1/360 часть окружности. И всё. Могли разбить на 100 частей. Или на 1000. Но разбили на 360. Кстати, почему именно на 360? Чем 360 лучше 100? 100, вроде, как-то ровнее... Попробуйте ответить на этот вопрос. Или слабо против Древнего Вавилона?
Преобразование между радианами и градусами
Почему значение для одного оборота в радианах имеет иррациональное значение 2π? Потому что это значение делает математику работать правильно. Для математики, чтобы иметь смысл, «числовое» значение, соответствующее 360 °, должно определяться как 2π является числовым значением «один раз вокруг» круга. Каждый из радианов и градусов имеет свое место.
Давайте подумаем о взаимосвязи между градусами и радианами, и для этого позвольте мне просто нарисовать здесь небольшой круг. Так что это центр круга, а затем сделайте мой лучший снимок, лучшая попытка от руки привлечь разумный круг. Хорошо, теперь, если бы мы пошли в градусах, если бы мы шли один раз вокруг круга, как это, сколько градусов это? Мы знаем, что это будет 360 градусов. Если бы мы сделали то же самое, сколько радианов это, если бы мы пошли все путь вокруг круга? Мы просто должны помнить, когда мы измеряем радианы, мы действительно говорим о дуге, которая подгибает этот угол.
Где-то в то же время, в Древнем Египте мучились другим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак... Всё получалось немного больше трёх. Но как-то лохмато получалось, неровно... Но они, египтяне не виноваты. После них ещё веков 35 мучились. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя... В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили, конечно. Примерно. В 3,1415926... раз.
Поэтому, если вы пройдете весь путь, вы действительно говорите о длина дуги всего круга или, по существу, окружность круга. И вы, по существу, говорите: сколько радиусов это или радиусы, или сколько радиусов - окружность круга. Если вы хотите знать точную длину, вам просто нужно получить длину радиуса и умножить его на два пи. И тогда мы можем взять все эти отношения и манипулировать им по-разному. Как мы можем использовать эту связь сейчас, чтобы выяснить, что такое 150 градусов? Ну, эти отношения, мы могли бы написать это по-разному.
Как бы мы выяснили, как мы будем делать то, что они просили у нас? Позвольте нам преобразовать 150 градусов в радианы. Ну, мы хотим преобразовать это в радианы, поэтому нам действительно важно, сколько радианов есть на градус, на самом деле, позвольте мне сделать это в этом цвете. Мы заботимся о том, сколько радианов есть на градус.
Это и есть число "Пи". Вот уж лохматое, так лохматое. После запятой - бесконечное число цифр без всякого порядка... Такие числа называются иррациональными. Это, кстати, и означает, что из равных кусочков окружности диаметр ровно не сложить. Никогда.
Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой. Запоминаем:
Мы будем делать тот же зеленый цвет. Сколько радианов существует на градус? Есть более 180 радианов на градус. Все это более 180, так что это равно, и мы получаем его в радианах И поэтому, если мы упростим это, давайте посмотрим, мы можем разделить числитель и знаменатель как на, так и на вид. Итак, если вы разделите числитель на 30, вы получите пять. Вы разделите знаменатель на 30, вы получите шесть. Теперь давайте сделаем то же самое для отрицательных 45 градусов. Что вы получаете за отрицательные 45 градусов, если вы должны были преобразовать это в радианов?
Раз уж мы поняли, что длина окружности больше диаметра в "Пи" раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:
Где L - длина окружности, а d - её диаметр.
В геометрии пригодится.
Для общего образования добавлю, что число "Пи" сидит не только в геометрии... В самых различных разделах математики, а особенно в теории вероятности, это число возникает постоянно! Само по себе. Вне наших желаний. Вот так.
Фактически, они оба делятся на. Если вы разделите числитель на 45, вы получить один. Прямоугольного треугольника. Единственная проблема заключается в том, что эти функции требуют измерения углов в радианах, а не в градусах, и хотя радианы являются законным способом измерения углов - на основе радиуса круга - они не являются чем-то большим, чем большинство людей работают на регулярной основе.
Угол - угол в градусах для преобразования в радианы. Параметры для этого аргумента. Размер угла в радианах может быть введен для этого аргумента - как показано в третьей строке изображения выше, а также о местоположении этих данных в строке два выше. Параметры ввода функции и ее аргументы включают.
Но вернёмся к градусам. Вы сообразили, почему в Древнем Вавилоне круг разбили на 360 равных частей? А не на 100, к примеру? Нет? Ну ладно. Выскажу версию. У древних вавилонян не спросишь... Для строительства, или, скажем, астрономии, круг удобно делить на равные части. А теперь прикиньте, на какие числа делится нацело 100, и на какие - 360? И в каком варианте этих делителей нацело - больше? Людям такое деление очень удобно. Но...
Можно познакомиться с функциями и производными
Хотя можно просто ввести полную функцию вручную, многим людям проще использовать диалоговое окно, поскольку оно заботится о вводе синтаксиса функции - например, скобки и для функций с несколькими аргументами разделители запятой, расположенные между аргументы.
Альтернативно, как показано в четвертой строке на изображении выше, формула. Радиан - это мера угла, указывающая связь между длиной дуги и радиусом окружности. Так как длина дуги полного круга такая же, как и окружность круга, заданная:. полный круг в радианах дается.
Как выяснилось много позже Древнего Вавилона, не всем нравятся градусы. Высшей математике они не нравятся... Высшая математика - дама серьёзная, по законам природы устроена. И эта дама заявляет: "Вы сегодня на 360 частей круг разбили, завтра на 100 разобьёте, послезавтра на 245... И что мне делать? Нет уж..." Пришлось послушаться. Природу не обманешь...
Преобразование из градусов в радианы
Указы преобразуются в радианы следующим образом.
Преобразование из радианов в градусы
Радианы преобразуются в градусы следующим образом. Преобразование между градусами и радианами. Углы более 360 градусов и меньше. То есть, угол в круге делает больше, чем полный поворот, так же, как когда вы поворачиваете себя несколько раз.Что такое градусы?
Тем не менее, это только оставшийся угол после последнего полного вращения в круге, который имеет значение. В следующем примере мы покажем вам, как его найти. Нам нужно выяснить, сколько полных оборотов в круге вы можете сделать. Это составляет 2, а остаток.
Пришлось ввести меру угла, не зависящую от человеческих придумок. Знакомьтесь - радиан!
Радианная мера угла.
Что такое радиан? В основе определения радиана - всё равно окружность. Угол в 1 радиан, это угол, который вырезает из окружности дугу, длина которой (L ) равна длине радиуса (R ). Смотрим картинки.
Расположение на Земле - градусы, минуты и секунды
Таким образом, вы можете сделать 2 полных оборота по кругу, и вы получите остаточный угол 90 0. Расстояния на Земле можно измерять в градусах вместо обычных единиц длины, таких как мили и км. В навигации по морю определенное местоположение на Земле представлено широтой и долготой, которые обычно обозначаются градусами, минутами и секундами. Одна степень делится на 60 минут, которая делится на 60 секунд.
Первое число - это широта, которая составляет 40 градусов, 44 минуты и 36 секунд. Второе число - это долгота, которая составляет 73 градуса, 59 минут и 5 секунд. Таким образом, широта Эмпайр-стейт-билдинг в десятичных градусах. Существуют две различные системы для измерения углов, градусов и радиан. Чтобы измерить в градусах, сначала рассмотрим полный оборот как \\.
Маленький такой угол, почти и нет его... Наводим курсор на картинку (или коснёмся картинки на планшете) и видим примерно один радиан . L = R
Чувствуете разницу?
Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз?
Смотрим следующую картинку. На которой я нарисовал полукруг. Развёрнутый угол размером, естественно, в 180°.
А теперь я нарежу этот полукруг радианами! Наводим курсор на картинку и видим, что в 180° укладывается 3 с хвостиком радиана.
Кто угадает, чему равен этот хвостик!?
Да! Этот хвостик - 0,1415926.... Здравствуй, число "Пи", мы тебя ещё не забыли!
Действительно, в 180° градусах укладывается 3,1415926... радиан. Как вы сами понимаете, всё время писать 3,1415926... неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:
А вот в Интернете число
писать неудобно... Поэтому я в тексте пишу его по имени - "Пи". Не запутаетесь, поди?...
Вот теперь совершенно осмысленно можно записать приближённое равенство:
Или точное равенство:
Определим, сколько градусов в одном радиане. Как? Легко! Если в 3,14 радианах 180° градусов, то в 1 радиане в 3,14 раз меньше! То есть, мы делим первое уравнение (формула - это тоже уравнение!) на 3,14:
Это соотношение полезно запомнить В одном радиане примерно 60°. В тригонометрии очень часто приходится прикидывать, оценивать ситуацию. Вот тут это знание очень помогает.
Но главное умение этой темы - перевод градусов в радианы и обратно.
Если угол задан в радианах с числом "Пи", всё очень просто. Мы знаем, что "Пи" радиан = 180°. Вот и подставляем вместо "Пи" радиан - 180°. Получаем угол в градусах. Сокращаем, что сокращается, и ответ готов. Например, нам нужно выяснить, сколько градусов в угле "Пи"/2 радиан ? Вот и пишем:
Или, более экзотическое выражение:
Легко, верно?
Обратный перевод чуть сложнее. Но не сильно. Если угол дан в градусах, мы должны сообразить, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов. Чему равен 1° в радианах?
Смотрим на формулу и соображаем, что если 180° = "Пи" радиан, то 1° в 180 раз меньше. Или, другими словами, делим уравнение (формула - это тоже уравнение!) на 180. Представлять "Пи" как 3,14 никакой нужды нет, его всё равно всегда буквой пишут. Получаем, что один градус равен:
Вот и всё. Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах. Например:
Или, аналогично:
Как видите, в неспешной беседе с лирическими отступлениями выяснилось, что радианы - это очень просто. Да и перевод без проблем... И "Пи" - вполне терпимая штука... Так откуда путаница!?
Вскрою тайну. Дело в том, что в тригонометрических функциях значок градусов - пишется. Всегда. Например, sin35°. Это синус 35 градусов . А значок радианов (рад ) - не пишется! Он подразумевается. То ли лень математиков обуяла, то ли ещё что... Но решили не писать. Если внутри синуса - котангенса нет никаких значков, то угол - в радианах ! Например, cos3 - это косинус трёх радианов .
Это и приводит к непоняткам... Человек видит "Пи" и считает, что это 180°. Всегда и везде. Это, кстати, срабатывает. До поры до времени, пока примеры - стандартные. Но "Пи" - это число! Число 3,14, а никакие не градусы! Это "Пи" радиан = 180°!
Ещё раз: "Пи" - это число! 3,14. Иррациональное, но число. Такое же, как 5 или 8. Можно, к примеру, сделать примерно "Пи" шагов. Три шага и ещё маленько. Или купить "Пи" килограммов конфет. Если продавец образованный попадётся...
"Пи" - это число! Что, достал я вас этой фразой? Вы уже всё давно поняли? Ну ладно. Проверим. Скажите-ка, какое число больше?
Или, что меньше?
Это из серии слегка нестандартных вопросов, которые могут и в ступор вогнать...
Если вы тоже в ступор впали, вспоминаем заклинание: "Пи" - это число! 3,14. В самом первом синусе четко указано, что угол - в градусах ! Стало быть, заменять "Пи" на 180° - нельзя! "Пи" градусов - это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:
Во втором синусе обозначений никаких нет. Значит, там - радианы ! Вот здесь замена "Пи" на 180° вполне прокатит. Переводим радианы в градусы, как написано выше, получаем:
Осталось сравнить эти два синуса. Что. забыли, как? С помощью тригонометрического круга, конечно! Рисуем круг, рисуем примерные углы в 60° и 1,05°. Смотрим, какие синусы у этих углов. Короче, всё, как в конце темы про тригонометрический круг расписано. На круге (даже самом кривом!) будет чётко видно, что
Да! Это оси системы координат! Если смотреть по тригонометрическому кругу, то подвижная сторона угла при этих значениях точно попадает на оси . Эти значения нужно знать железно. И угол 0 градусов (0 радиан) я отметил не зря. А то некоторые этот угол никак на круге найти не могут... И, соответственно, в тригонометрических функциях нуля путаются... Другое дело, что положение подвижной стороны в нуле градусов совпадает с положением в 360°, так совпадения на круге - сплошь и рядом.
Во второй строчке - тоже углы специальные... Это 30°, 45° и 60°. И что в них такого специального? Особо - ничего. Единственное отличие этих углов от всех остальных - именно про эти углы вы должны знать всё . И где они располагаются, и какие у этих углов тригонометрические функции. Скажем, значение sin100° вы знать не обязаны. А sin45° - уж будьте любезны! Это обязательные знания, без которых в тригонометрии делать нечего... Но об этом подробнее - в следующем уроке.
Второй мощный шаг - это умение определять положение любого угла на тригонометрическом круге. И в градусах, и в радианах. Про это самое умение я буду вам во всей тригонометрии занудно намекать, да...) Если вы всё знаете (или думаете, что всё знаете) про тригонометрический круг, и отсчёт углов на тригонометрическом круге, можете провериться. Решите эти несложные задания:
1. В какую четверть попадают углы:
45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?
Легко? Продолжаем:
2. В какую четверть попадают углы:
402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?
Тоже без проблем? Ну, смотрите...)
3. Сможете разместить по четвертям углы:
Смогли? Ну вы даёте..)
4. На какие оси попадёт уголок:
и уголок:
Тоже легко? Хм...)
5. В какую четверть попадают углы:
И это получилось!? Ну, тогда я прям не знаю...)
6. Определить, в какую четверть попадают углы:
1, 2, 3 и 20 радианов.
Ответ дам только на последний вопрос (он слегка хитрый) последнего задания. Угол в 20 радианов попадёт в первую четверть.
Остальные ответы не дам не из жадности.) Просто, если вы не решили чего-то, сомневаетесь в результате, или на задание №4 потратили больше 10 секунд, вы слабо ориентируетесь в круге. Это будет вашей проблемой во всей тригонометрии. Лучше от неё (проблемы, а не тригонометрии!)) избавиться сразу. Это можно сделать в теме: Практическая работа с тригонометрическим кругом в разделе 555.
Там рассказано, как просто и правильно решать такие задания. Ну и эти задания решены, разумеется. И четвёртое задание решено за 10 секунд. Да так решено, что любой сможет!
Если же вы абсолютно уверены в своих ответах и вас не интересуют простые и безотказные способы работы с радианами - можете не посещать 555. Не настаиваю.)
Хорошее понимание - достаточно веская причина, чтобы двигаться дальше!)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Похожие статьи
