Вычислить предел последовательности с подробным решением. Как найти предел последовательности? Свойства ограниченных последовательностей

Пусть аргумент принимает все значения изнатурального ряда

члены которого мы представляем себе упорядоченными по возрастанию (т.е. большее число следует за меньшим). Если каждомупо некоторому правилу или закону поставлено в соответствие, то говорят, что задана последовательность.

Например:

Определение 1. Числоназывается пределом последовательности, если для любого сколь угодно малого положительногонайдется такой номер, что для всехвыполняется неравенство:

Основная причина, по которой квантовое исчисление может быть настолько отличным от классического мышления, - это два необычных свойства квантового мира. Согласно первому, квантовые частицы могут возникать в особых состояниях, в которых они, как представляется, имеют два или более классических свойства одновременно. найти «здесь» и «там». Поэтому элементарные квантовые биты не только равны нулю и ноль, но и некоторые комбинации, так называемая суперпозиция этих состояний. Вторая квантовая характеристика высокой квантовой квантовой эффективности - это возможность привлекательной привязанности, математической неделимости двух разных физических объектов, два элемента квантового компьютера.

Тот факт, что число является пределом последовательности, записывается так:

Неравенство (4) эквивалентно неравенствам или. Последние неравенства означают, что элементнаходится в-окрестности числа.-окрестностью числаназывается интервал. Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать также и следующим образом:

Обе эти характеристики известны с первых дней квантовой механики и были предметом многих философских дискуссий о замечательной отличительности классического и квантового мира. В наше время, когда мы задаемся вопросом о странности квантовых законов, мы начинаем больше понимать их практическую применимость.

Поскольку в квантовом мире нет опыта, мы здесь полностью заняты абстрактным языком математики. Мы знаем, что элемент, несущий один бит «классической» информации, должен иметь два различных физических состояния, а именно состояния, соответствующие логическому нульу и логическому. Возможные классические логические состояния пары битов - т.е. комбинация «нуль-ноль», «один-один», «нуль-один» и «один-нуль», 0 ψ 1 ψ ψ 1 ψ 0. Для подготовки к вводу компьютера такое состояние означает, что вы должны делать расчет со всеми значениями сразу!

Определение 2. Последовательностьимеет предел, если существует числотакое, что в любой-окрестности числанаходятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.

Теоремы о пределах последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Теорема 2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Эти замечательные свойства квантового исчисления называются квантовым параллелизмом. Для классических компьютеров мы можем сказать, что каждый бит во всех его обстоятельствах во всех его обстоятельствах. Но подобные заявления нельзя говорить с квантовыми компьютерами. Это означает, что для квантовой системы в общем случае невозможно разделить состояния его или ее части - опять же, свойство с точки зрения классического опыта совершенно непонятно! Однако, благодаря всем квантовым вычислениям, проводимым параллельно, они в любое время добавляются к отдельным входным значениям в ходе расчета.

Теорема 3. Предел суммы (разности) двух последовательностей равен

сумме (разности) пределов этих последовательностей.

Теорема 4. Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей.

Теорема 5. Предел частного двух последовательностей равен частному пределов этих последовательностей (при условии, что знаменатель не обращается в нуль).

Сама последовательность операций, направленных на достижение цели, является основной частью квантового алгоритма. Мы понимаем эту физику как счетчик, в конце которого состояние компьютера содержит информацию о решении проблемы. Было продемонстрировано, что все квантовые алгоритмы могут быть, как и классические алгоритмы, распространены на некоторые элементарные операции. Таблица 1: Преобразование Хадесарда - пример элементарных монобрендовых квантовых операций. Входные логические состояния 0 и 1 назначаются соответствующим выходным наложенным состояниям.

.

Теорема 6. Если для двух последовательностейии, члены последовательностиудовлетворяют неравенству, тогда.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Определение 3. Последовательностьназывается бесконечно малой, если. Последовательностьназывается бесконечно большой, если.

Таким образом, квантовое вычисление может обеспечить четную и параллельную обработку всех значений индекса. Эта операция может создать квантовое чередование. Признание результатов любого квантового расчета не может быть сделано иначе, чем в форме убийства. Любое преступление, однако, показывает лишь крошечную часть квантовой информации, вливаемой в компьютер, и в конечном итоге уничтожит ее необратимым образом. Результаты квантовых угнетений уже не могут быть предсказаны - квантовая механика определяет только их вероятность.

Именно по этой причине вся сумма обычно повторяется несколько раз. В любом конкретном случае удержание сцены будет иным, но искомый результат может быть получен из полной статистики подавляющего большинства миров. Однако квантовые алгоритмы в некоторых случаях приводят к классическим алгоритмам. В то время мудрость «квантовых компьютерных ученых» была не более чем практической проблемой. Однако горькое слово буквально вызвало взрыв интереса к квантовому исчислению вне группы физиков. Шора показали, что вовлечение квантовой механики в процесс расчета позволит быстро ускорить решение.

Предел последовательности Число.

Предел данной последовательности равен

где число -основание натурального логарифма.

При вычислении пределов типа (6) следует использовать следующие свойства:

1.(7)

Все это в периоды, которые растут только полиномиально с числом фактор -, что на самом деле значительно короче, чем для известных классических алгоритмов факторизации! Это хорошо, вы говорите, может быть, но как вы это делаете? Это действительно так - и он вот-вот останется надолго - краеугольным камнем квантового удара. Конечно, вполне возможно смоделировать квантовую компьютерную активность на классическом компьютере, но все его преимущества вычислений теряются. Реальный квантовый компьютер должен быть реальным квантовым объектом!

Известных систем, которые, возможно, подходят для квантовых вычислений, мало, но все практические попытки еще предстоит решить проблемы, вызванные нашей не слишком большой «рудиментарной» манипуляцией состояниями квантовых гипотез. Вызывая лазерные импульсы соответствующим образом заданным параметрам, можно было бы выборочно возбуждать и дезактивировать любой из атомов, с помощью которых последовательность этих импульсов могла бы реализовать данный квантовый алгоритм.

2.(8)

3.(9)

4.(10)

Приведем несколько примеров вычисления пределов последовательности.

Пример 1

Однако лабораторные эксперименты с такими системами все еще находятся на стадии эмбриона. Одним из основных препятствий для квантовых вычислений является необходимость постоянно поддерживать квантовый компьютер в полной изоляции со всех сторон окружающего «океана» окружающей среды - как от квантового гипноза, так и от внутренних степеней свободы самого компьютера. Однако очень быстрое сцепление подавляющего большинства квантовых систем с окружающей средой является известным явлением, которого можно избежать.

Его результатом является невозможность добавления отдельного квантового состояния в систему, которая в течение некоторого времени свободно взаимодействует с окружающей средой. «Квантность» компьютера, вероятно, исчезла бы, прежде чем мы могли бы выполнить первую операцию алгоритма.

.

Решение:

В данном примере последовательность представляет собой рациональную дробь, для вычисления пределов такого вида необходимо знаменатель и числитель дроби разделить на в наивысшей степени. В нашем примере это.

К счастью, уже известны стратегии победить это явление, профессионально называемое декогеренцией. Один из них был впервые описан Питером Шором. Речь идет, в основном, о периодической работе некоторых преобразований компьютера, которые в случае достаточной частоты повторения ущерба, вызванного взаимодействием с окружающей средой, корректируются - по крайней мере, на уровнях с высокой вероятностью. Другим методом подавления декогеренции является использование специальных стеков систем полипов, которые не могут просто «плавать» с окружающей средой.

Так как , если, а- ограниченная величина.

Ответ:

Пример 2

Вычислить предел последовательности

Решение:

Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей, содержащих иррациональности.

Главный шум, вызванный декабрьским докладом Исаака Чуанга, был первым экспериментальным выполнением расчетов, основанных на алгоритме факторинга Шумера, с использованием квантового компьютера на основе ядерного магнитного резонанса. Квантовый компьютер представляет собой целую молекулу, причем каждый макроскопический образец соединения содержит огромное количество его реплик.

Это означает, что нет необходимости в повторении частного, типичного для других видов квантовых калькуляторов, но, напротив, в компьютере в конкретном квантовом квете есть много проблем. Квантовый подсчет всех попыток квантовых поисков до сих пор представляет собой очень небольшое количество квантовых бит, на которые мы можем рассчитывать. Даже для изображений с ядерным магнитным резонансом применяются строгие ограничения, размер применимых молекул и физические пределы удобочитаемости. Использование алгоритма эвристического факторинга таких высоких экземпляров, как в настоящее время используется для шифрования сообщений, остается поэтому за горизонтом физического воображения.

Ответ:

Пример 3

Вычислить предел последовательности .

Решение:

Для вычисления подобных пределов с неопределенностью , необходимо умножить и разделитьна его сопряженное. Это необходимо для того, чтобы воспользоваться формулой «разность квадратов»и, избавившись от квадратного корня, получить дробь.

Но в какой-то момент времени знаки, которые даже квант рассчитывает на существенно меньшее количество бит, могут быть практически полезными. Несколько теоретиков в области физики хаоса придумали идею о том, что квантовые калькуляторы реалистичных измерений могут помочь в моделировании поведения некоторых систем, отображающих так называемый квантовый хаос.

Следует отметить, что задачи, связанные с хаотическими системами, наиболее численно наиболее сложны. Объяснение основных понятий квантового исчисления можно найти на проф. . Запутывание: взаимосвязь или взаимосвязь системы из двух или более квантовых объектов, когда невозможно вывести состояния отдельных объектов из полного квантового состояния системы.

Ответ:

Пример 4

.

Решение:

Для вычисления подобных пределов необходимо умножить и разделить на неполный квадрат суммы. Это необходимо для того, чтобы воспользоваться формулой «разность кубов»и, избавившись от кубических корней, получить дробь. Неполным квадратом суммы в нашем примере является:

Ответ:

Пример 5

Вычислить предел последовательности

Решение:

Последовательность - является арифметической прогрессией с разностью. Суммапервых членов арифметической прогрессии находится по формуле:

Т.е. тогда

Ответ:

Пример 6

Вычислить предел последовательности

Решение:

Напомним, что

Ответ:

Пример 7

Вычислить предел последовательности

Решение:

Для вычисления предела преобразуем к виду (6). С этой целью выделим в числителе выражение, стоящее в знаменателе и почленно разделим, а затем воспользуемся свойствами (7)-(10):

– функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или . Значения называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный .
1. Последовательность задана аналитически , если задана формула ее n-го члена:
.
Пример. – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, ...,1
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. если n = 2, 3, 4,….

Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной .
неубывающей, если для любого n будет справедливо "каждый предыдущий член меньше или равен следующему".
Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными .
Последовательность называется ограниченной сверху, если существует M, что все члены последовательности меньше этого числа
Последовательность называется ограниченной снизу, если существует M, что все члены последовательности больше этого числа.
Если последовательность имеет ограничение и сверху и снизу, то она называется ограниченной . Если нет - неограниченной.
Если последовательность сходится к какому-то числу, значит она имеет предел .




Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности , если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n.
Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a- , a+ ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся ; в противном случае – расходящейся или бесконечно большой . Последовательность называется бесконечно малой , если ее предел равен нулю.

Примеры:

Источники информации:
Образовательный портал ФИЗМАТкласс



Похожие статьи