В предыдущем видео мы получили формулу для суммы конечного геометрического ряда, где а - первый член, а г - наше общее отношение. Позвольте мне просто скопировать и вставить его, поэтому мне не нужно менять цвета. Давайте подумаем об этом на секунду. И поэтому все это только станет, или, по крайней мере, вы можете думать об абсолютной ценности всего этого, просто станет очень, очень и очень большим числом. И мы будем делиться этим знаменателем, и эта формула просто ломается. Что произойдет в этом случае?

Ну, знаменатель будет иметь смысл, прямо здесь. И тогда здесь, что произойдет? Ну, если вы возьмете что-то с абсолютным значением, меньшим единицы, и вы принимаете его все выше и выше и каждый раз, когда вы умножаете его сами, вы идете чтобы получить число с меньшей абсолютной величиной. Так, например, если бы у меня был геометрический ряд, если бы у меня был бесконечный геометрический ряд, у нас просто был простой. Это говорит нам, что эта сумма, эта бесконечная сумма, у меня есть бесконечное число терминов здесь - Это довольно увлекательная концепция здесь - выйдет на это.

Это будет мой первый термин, один, за один минус моего общего отношения. Это мягкая вещь. Однако геометрический ряд является исключением. Геометрический ряд может быть конечным или бесконечным. Конечный ряд сходится на некотором числе. Бесконечный геометрический ряд не сходится на числе.

Сумма сходящейся геометрической серии: пример

Задача примера: найдите сумму следующих геометрических рядов. Шаг 2: Подтвердите, что серия фактически сходится. Вот и все! Это пример арифметической прогрессии, а постоянное значение, определяющее разницу между любыми двумя последовательными членами, называется общей разницей.

Это пример геометрической прогрессии, в которой каждый член кратен предыдущему. Коэффициент умножения называется общим отношением. Примечание. Чтобы определить, какой термин имеет определенное значение, вам нужно будет использовать логарифмы.



Знак неравенства изменился, потому что мы разделили на отрицательный. Сумма слагаемых может быть записана двумя способами.

Сумма членов геометрической прогрессии

Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем.

Сумма бесконечной серии существует, если. Это связано с тем, что каждый последующий член становится меньше, и поэтому серия будет стремиться к определенному пределу. Этот предел найден с использованием второй из двух наших формул.

По мере приближения п к бесконечности сумма также возрастает. Поэтому он не сходится.

Два последних фрагмента информации, которые могут быть полезны. Это способ найти недостающий термин между двумя известными терминами. Пятый член будет Арифметическим средним для этих двух значений.

Термины «последовательность» и «прогрессия» взаимозаменяемы. «Геометрическая последовательность» - это то же самое, что и «геометрическая прогрессия». Итак, давайте рассмотрим, как создать геометрическую последовательность. Выберите номер, любое число и запишите его.

Теперь выберите второе число, любое число, которое мы будем называть общим отношением. Теперь умножьте первое число на общее соотношение, затем напишите их произведение справа от первого числа. Следуя этому процессу, вы создали «Геометрическую последовательность», последовательность чисел, в которой соотношение каждых двух последовательных членов одинаково.

В приведенном выше примере 5 является первым членом последовательности или прогрессии. Чтобы ссылаться на первый член последовательности в общем виде, который применяется к любой последовательности, математики используют обозначение. Он является «индексом» и указывает положение термина в последовательности.

Таким образом, представляет собой значение первого слагаемого в последовательности и представляет значение пятого члена в последовательности. Так как все члены в геометрической последовательности должны быть одинаковыми кратными термина, который предшествует им, этот фактор получает формальное имя и часто упоминается с использованием переменной. Если вы умножаете какой-либо термин на это значение, вы получаете значение следующего термина.

Для существующей геометрической последовательности общее отношение можно рассчитать, разделив любой член на предыдущий член. Каждая геометрическая последовательность имеет общее соотношение между последовательными терминами. Общее отношение может быть положительным или отрицательным. Это может быть целое число, дробь или даже иррациональное число. Независимо от того, какое значение оно имеет, это будет отношение любых двух последовательных членов в Геометрической Последовательности.

Поэтому, чтобы проверить, является ли последовательность чисел геометрической последовательностью, вычислите отношение последовательных членов в разных местах в последовательности. Если вы вычисляете одинаковое соотношение между любыми двумя соседними терминами, выбранными из последовательности, то последовательность является геометрической последовательностью. Одна из приведенных выше серий может быть использована для демонстрации этого процесса.

Алгебраическое описание геометрической последовательности

Так как соотношение между соседними членами всегда было одинаковым, это геометрическая последовательность. Существование общего соотношения позволяет нам рассчитать термины общим образом. Так как каждая строка выше следует одной и той же схеме, весь процесс можно описать немного более широко и компактно, используя переменную в качестве индекса.

Более интуитивный способ чтения этого уравнения: «Любой член может быть рассчитан путем умножения его предыдущего члена на общее соотношение». Эти идеи позволяют полному описанию геометрической последовательности принимать несколько форм. Задание первых трех или четырех условий достаточно, чтобы продемонстрировать общее соотношение.

Укажите первый член и общее соотношение. Укажите первый термин с правилом, чтобы получить от каждого термина к другому. Это рекурсивное определение. Это закрытая форма или явное определение. Заметим, что если последовательность начинается с 5, то растет в 3 раза от одного члена к другому, эту ситуацию можно моделировать с использованием экспоненциального уравнения с 5 в качестве его начального значения и 3 в качестве основы. Обобщение этого подхода к экспоненциальному уравнению приводит к описанию, которое относится к любой геометрической последовательности.

Поскольку вы ищете следующий срок, необходимо использовать только одно общее соотношение. Сколько общих коэффициентов требуется для получения от первого до третьего срока? Теперь обобщите ситуацию, основанную на этих двух примерах. Когда термин «числа» один был разделен, необходимо использовать общий коэффициент, чтобы перейти от одного к другому. Когда термин «числа» был разделен на две части, для перехода от одного к другому потребовалось два использования общего отношения. Нам всегда нужно использовать общее соотношение столько раз, сколько разница между двумя числами.