Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.
В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.
Навигация по странице.
Основные тригонометрические тождества
Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.
Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .
Формулы приведения
Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.
Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .
Формулы сложения
Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.
Формулы двойного, тройного и т.д. угла
Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.
Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.
Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .
Формулы понижения степени
Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.
Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус
Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
Продолжаем наш разговор про наиболее употребляемые формулы в тригонометрии. Важнейшие из них – формулы сложения.
Определение 1
Формулы сложения позволяют выразить функции разности или суммы двух углов с помощью тригонометрических функций этих углов.
Для начала мы приведем полный список формул сложения, потом докажем их и разберем несколько наглядных примеров.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Основные формулы сложения в тригонометрии
Выделяют восемь основных формул: синус суммы и синус разности двух углов, косинусы суммы и разности, тангенсы и котангенсы суммы и разности соответственно. Ниже приведены их стандартные формулировки и вычисления.
1.Синус суммы двух углов можно получить следующим образом:
Вычисляем произведение синуса первого угла на косинус второго;
Умножаем косинус первого угла на синус первого;
Складываем получившиеся значения.
Графическое написание формулы выглядит так: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Синус разности вычисляется почти так же, только полученные произведения нужно не сложить, а вычесть друг из друга. Таким образом, вычисляем произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго и находим их разность. Формула пишется так: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Косинус суммы. Для него находим произведения косинуса первого угла на косинус второго и синуса первого угла на синус второго соответственно и находим их разность: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Косинус разности: вычисляем произведения синусов и косинусов данных углов, как и ранее, и складываем их. Формула: cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
5. Тангенс суммы. Эта формула выражается дробью, в числителе которой – сумма тангенсов искомых углов, а в знаменателе – единица, из которой вычитается произведение тангенсов искомых углов. Все понятно из ее графической записи: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Тангенс разности. Вычисляем значения разности и произведения тангенсов данных углов и поступаем с ними схожим образом. В знаменателе мы прибавляем к единице, а не наоборот: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Котангенс суммы. Для вычислений по этой формуле нам понадобятся произведение и сумма котангенсов данных углов, с которыми мы поступаем следующим образом: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Котангенс разности. Формула схожа с предыдущей, но в числителе и знаменателе – минус, а не плюс c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β .
Вы, наверное, заметили, что эти формулы попарно схожи. При помощи знаков ± (плюс-минус) и ∓ (минус-плюс) мы можем сгруппировать их для удобства записи:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Соответственно, мы имеем одну формулу записи для суммы и разности каждого значения, просто в одном случае мы обращаем внимание на верхний знак, в другом – на нижний.
Определение 2
Мы можем взять любые углы α и β , и формулы сложения для косинуса и синуса подойдут для них. Если мы можем правильно определить значения тангенсов и котангенсов этих углов, то формулы сложения для тангенса и котангенса будут также для них справедливы.
Как и большинство понятий в алгебре, формулы сложения могут быть доказаны. Первая формула, которую мы докажем, - формула косинуса разности. Из нее потом можно легко вывести остальные доказательства.
Уточним основные понятия. Нам понадобится единичная окружность. Она получится, если мы возьмем некую точку A и повернем вокруг центра (точки O) углы α и β . Тогда угол между векторами O A 1 → и O A → 2 будет равняться (α - β) + 2 π · z или 2 π - (α - β) + 2 π · z (z – любое целое число). Получившиеся вектора образуют угол, который равен α - β или 2 π - (α - β) , или он может отличаться от этих значений на целое число полных оборотов. Взгляните на рисунок:
Мы воспользовались формулами приведения и получили следующие результаты:
cos ((α - β) + 2 π · z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π · z) = cos (α - β)
Итог: косинус угла между векторами O A 1 → и O A 2 → равняется косинусу угла α - β , следовательно, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .
Вспомним определения синуса и косинуса: синус - функция угла, равная отношению катета противолежащего угла к гипотенузе, косинус – это синус дополнительного угла. Следовательно, точки A 1 и A 2 имеют координаты (cos α , sin α) и (cos β , sin β) .
Получим следующее:
O A 1 → = (cos α , sin α) и O A 2 → = (cos β , sin β)
Если непонятно, взгляните на координаты точек, расположенных в начале и конце векторов.
Длины векторов равны 1 , т.к. у нас единичная окружность.
Разберем теперь скалярное произведение векторов O A 1 → и O A 2 → . В координатах оно выглядит так:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Из этого мы можем вывести равенство:
cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
Таким образом, формула косинуса разности доказана.
Теперь мы докажем следующую формулу – косинуса суммы. Это проще, поскольку мы можем воспользоваться предыдущими расчетами. Возьмем представление α + β = α - (- β) . У нас есть:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α · cos (- β) + sin α · sin (- β) = = cos α · cos β + sin α · sin β
Это и есть доказательство формулы косинуса суммы. В последней строчке использовано свойство синуса и косинуса противоположных углов.
Формулу синуса суммы можно вывести из формулы косинуса разности. Возьмем для этого формулу приведения:
вида sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Так
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) · cos β + sin (π 2 - α) · sin β = = sin α · cos β + cos α · sin β
А вот доказательство формулы синуса разности:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α · cos (- β) + cos α · sin (- β) = = sin α · cos β - cos α · sin β
Обратите внимание на использование свойств синуса и косинуса противоположных углов в последнем вычислении.
Далее нам нужны доказательства формул сложения для тангенса и котангенса. Вспомним основные определения (тангенс – отношение синуса к косинусу, а котангенс –наоборот) и возьмем уже выведенные заранее формулы. У нас получилось:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β - sin α · sin β
У нас получилась сложная дробь. Далее нам нужно разделить ее числитель и знаменатель на cos α · cos β , учитывая что cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0 , получаем:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Теперь сокращаем дроби и получаем формулу следующего вида: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β .
У нас получилось t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Это и есть доказательство формулы сложения тангенса.
Следующая формула, которую мы будем доказывать – формула тангенса разности. Все наглядно показано в вычислениях:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α · t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
Формулы для котангенса доказываются схожим образом:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Далее:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α · c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β
Я не буду убеждать вас не писать шпаргалки. Пишите! В том числе, и шпаргалки по тригонометрии. Позже я планирую объяснить, зачем нужны шпаргалки и чем шпаргалки полезны. А здесь — информация, как не учить, но запомнить некоторые тригонометрические формулы. Итак — тригонометрия без шпаргалки!Используем ассоциации для запоминания.
1. Формулы сложения:
косинусы всегда «ходят парами»: косинус-косинус, синус-синус.
И еще: косинусы — «неадекватны». Им «все не так», поэтому они знаки меняют: «-» на «+», и наоборот.
Синусы — «смешиваются»
: синус-косинус, косинус-синус.
2. Формулы суммы и разности:
косинусы всегда «ходят парами». Сложив два косинуса — «колобка», получаем пару косинусов- «колобков». А вычитая, колобков точно не получим. Получаем пару синусов. Еще и с минусом впереди.
Синусы — «смешиваются» :
3. Формулы преобразования произведения в сумму и разность.
Когда мы получаем пару косинусов? Когда складываем косинусы. Поэтому
Когда мы получаем пару синусов? При вычитании косинусов. Отсюда:
«Смешение» получаем как при сложении, так и при вычитании синусов. Что приятнее: складывать или вычитать? Правильно, складывать. И для формулы берут сложение:
В первой и в третьей формуле в скобках — сумма. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Принципиален порядок только для второй формулы. Но, чтобы не путаться, для простоты запоминания мы во всех трех формулах в первых скобках берем разность
а во вторых — сумму
Шпаргалки в кармане дают спокойствие: если забыл формулу, можно списать. А дают уверенность: если воспользоваться шпаргалкой не удастся, формулы можно легко вспомнить.
Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .
Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.
Зависимость между тангенсом и котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.
Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .
1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;
Показать решение
Решение
Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:
\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Это уравнение имеет 2 решения:
\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .
Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3
Пример 2
Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .
Показать решение
Решение
Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .
Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.
ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .
– уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля .
А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.
Будем опираться на следующие формулы:
Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:
- Синус разности : sin (a-b) = sin a cos (-b) +cos a sin (-b) = sin a cos b -cos a sin b
- Косинус разности : cos (a-b) = cos a cos (-b) -sin a sin (-b) = cos a cos b +sin a sin b
Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:
- Синус двойного угла : sin 2a = sin (a+a) = sin a cos a +cos a sin a = 2sin a cos a
- Косинус двойного угла : cos 2a = cos (a+a) = cos a cos a -sin a sin a = cos 2 a -sin 2 a
Аналогично получаются и формулы других кратных углов:
- Синус тройного угла : sin 3a = sin (2a+a) = sin 2a cos a +cos 2a sin a = (2sin a cos a )cos a +(cos 2 a -sin 2 a )sin a = 2sin a cos 2 a +sin a cos 2 a -sin 3 a = 3sin a cos 2 a -sin 3 a = 3sin a (1-sin 2 a )-sin 3 a = 3sin a -4sin 3 a
- Косинус тройного угла : cos 3a = cos (2a+a) = cos 2a cos a -sin 2a sin a = (cos 2 a -sin 2 a )cos a -(2sin a cos a )sin a = cos 3 a-sin 2 a cos a -2sin 2 a cos a = cos 3 a-3sin 2 a cos a = cos 3 a-3(1-cos 2 a )cos a = 4cos 3 a-3cos a
Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
Дано: угол - острый.
Найти его косинус, если
Решение, данное одним учеником:
Т.к. , то sin
a
= 3,а cos
a
= 4.
(Из математического юмора)
Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin 2 a +cos 2 a = 1 и разделим его на cos 2 a . Получим:
Так что решением этой задачи будет:
(Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)
Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:
Сразу выводится и
Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
cos
2
a
= cos
2
a
-sin
2
a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos
2a
+1 = cos
2 a
-sin
2 a
+cos
2 a
+sin
2 a
2cos
2
a
= cos
2
a
+1
Выражая cos
a
через cos
2
a
и выполняя замену переменных, получаем:
Знак берётся в зависимости от квадранта.
Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой - сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
cos
2a
-1 = cos
2 a
-sin
2 a
-cos
2 a
-sin
2 a
2sin
2
a
= 1-cos
2
a
И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sin
a
+sin
b
. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sin
a
+sin
b
= sin
(x+y)+sin
(x-y) = sin
xcos
y+cos
xsin
y+sin
xcos
y-cos
xsin
y = 2sin
xcos
y. Выразим теперь x и y через a и b.
Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому
Сразу же можно вывести
- Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму : sin a cos b = 0.5(sin (a+b) +sin (a-b))
Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.
Похожие статьи
