Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Какой официальный сайт группы "Бандерос"
Сайты русскоязычных хип-хоп исполнителей: mad-a.ru — официальный сайт рэп артистки MAD-A (фотографии, музыка, биография); st1m.ru - официальный сайт рэп исполнителя St1m (музыка, видео, фото, информация о концертах, новости, форум); all1.ru - официальный сайт творческого объединен

В каких случаях инспектор ДПС имеет право останавливать ТС
Исходя из положения пункта 20 статьи 13 Закона «О полиции», инспектор ДПС имеет право останавливать транспортное средство (далее — ТС), если это необходимо для выполнения возложенных на полицию обязанностей по обеспечению безопасности дорожного движения и в др. случаях (см. полный перечень ниже). Если инспектор визуально

Как защитить трудовую книжку от умышленной потери работодателем
Чтобы защитить трудовую книжку от умышленной потери (порчи) работодателем, сотруднику предприятия рекомендуется любыми законными путями получить копию трудовой, например, используя предлог для оформления кредита, и хранить ее в надежном месте. Если недобросовестный работодатель умышленно уничтожит факты трудоустройства сотрудника на его предприятие (во избежание выявления нарушений трудового законодательства во время провед

Где в интернете найти справочную всех телефонов
Сайты «Жёлтых страниц» в интернете: yellow-pages.ru — онлайн журнал справочной информации «Yellow pages»; ypag.ru — жёлтые страницы СНГ; yellowpages.rin.ru — жёлтые стра

Сколько градусов в радиане
1 минута дуги (1′) = 60 секунд дуги (60″) 1 угловой градус (1°) = 60 минут дуги (60′) = 3600 секунд дуги (3600″) 1 радиан ≈ 57,295779513° ≈ 57°17&prim

Музыка - это вид искусства. Средством передачи настроения и чувства в музыке служат специально организованные звуки. Основными элементами и выразительными средствами музыки являются: мелодия, ритм, метр, темп, динамика, тембр, гармония, инструментовка и другие. Музыка является очень хорошим средством воспитания художественного вкуса у ребенка. Музыка способна влиять на настроение,

В каких странах проводились гран-при Формулы 1 в 2005 году
В 2005 году чемпионат мира состоял из 19 гран-при, которые проводились в следующих странах: Австралия, Малайзия, Бахрейн, Сан-Марино, Испания, Монако, Канада, США, Франция, Великобритания, Германия, Венгрия, Турция, Италия, Бельгия, Бразилия, Япония, Китай. Гран-при Европы проводился в Германии (Нюрбург).Подробнее на сайте http:/

Что такое алоказия
Алоказия (Alocasia) Семейство ароидных. Родина Южная Америка. Редкое растение любящее тепличные условия (влагу и тепло) и поэтому не получившее широкого распространения среди цветоводов. Алоказия красивое комнатное растение, с крупными стреловидно-овальными (или сердцевидными) листьями, которых бывает не более 6-7. Самые распространенные в

Что означает фраза "Этот цветочек мы уже нюхали"
Фраза «Этот цветочек мы уже нюхали» употребляется в том же значении, что и известный фразеологизм «Дважды наступить на одни и те же грабли», т.е. столкнуться с уже знакомой неприятной ситуацией. Это выражение встречается в фельетоне Ильи Ильфа «Молодые дамы» (1929) в следующе

Где найти рецепт панна котты
Панна котта (Panna cotta) — это нежнейший соблазнительный десерт из сливок и желатина, который готовят в Италии, регионе Эмилия-Романья. Дословно название десерта переводится как «вареный крем» или «вареные сливки», но по существу это кремовый пудинг без или с различными добавками.

Чему равен косинус 90 градусов
Косинус — одна из тригонометрических функций, обозначется cos. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла (прилежащего катета), к гипотенузе.Значения косинусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень ква

Приращения функции к приращению аргумента, который стремится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Например, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.

Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).

Найдите значение переменной данного . Это будут те значения, при данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры вместо x, при которых все выражение станет нулевым. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для каждого из полученных . На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за начало отсчета. Чтобы высчитать значение на промежутках подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Например, для предыдущей функции до промежутка -1 можно выбрать значение -2. На от -1 до 1 можно выбрать 0, а для значений больше 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и выясните знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. отрицательно и на данном промежутке будет знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а на данном промежутке ставится знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и ставится минус.

Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.

Видео по теме

Полезный совет

Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают нужные значения и выводят результат. На таких сайтах можно найти производную до 5 порядка.

Источники:

• Один из сервисов вычисления производных
• точку максимума функции

Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых интервалах и всегда являются локальными.

Инструкция

Процесс нахождения локальных экстремумов называется функции и выполняется путем анализа первой и второй производной функции. Перед началом исследования убедитесь, что заданный интервал значений аргумента принадлежит к допустимым значениям. Например, для функции F=1/x значение аргумента х=0 недопустимо. Или для функции Y=tg(x) аргумент не может иметь значение х=90°.

Убедитесь, что функция Y дифференцируема на всем заданном отрезке. Найдите первую производную Y". Очевидно, что до достижения точки локального максимума функция возрастает, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость изменения функции. Пока функция возрастает, скорость этого процесса является величиной положительной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса изменения функции становится отрицательной. Переход скорости изменения функции через ноль происходит в точке локального максимума.

Например, функция Y=-x²+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет непрерывную производную Y"=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y"=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x²+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.

Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать задания связанные с исследованием функций. Рекомендую , необходимую для решения задач на нахождение максимального (минимального) значения функции и на нахождение точек максимума (минимума) функции.

Задачи с логарифмами на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции мы . В этой статье рассмотрим три задачи, в которых стоит вопрос нахождения точек максимума (минимума) функций, при чём в заданной функции присутствует натуральный логарифм.

Теоретический момент:

По определению логарифма – выражение стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля. *Это обязательно нужно учитывать не только в данных задачах, но и при решении уравнений и неравенств содержащих логарифм.

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Вычисляем производную функции.

2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой. *Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из них в производную).

5. Делаем вывод.

Найдите точку максимума функции у = ln (х–11)–5х+2

Сразу запишем, что х–11>0 (по определению логарифма), то есть х > 11.

Рассматривать функцию будем на интервале (11;∞).

Найдем нули производной:

Точка х = 11 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки 11 и 11,2. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (11;11,2) и (11,2;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х=11,2 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 11,2

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у=ln (х+5)–2х+9.

Найдите точку минимума функции у=4х– ln (х+5)+8

Сразу запишем, что х+5>0 (по свойству логарифма), то есть х>–5.

Рассматривать функцию будем на интервале (– 5;+∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = –5 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки –5 и –4,75 . Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (–5;–4,75) и (–4,75;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х= –4,75 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.

Ответ: – 4,75

Решите самостоятельно:

Найдите точку минимума функции у=2х–ln (х+3)+7.

Найдите точку максимума функции у = х 2 –34х+140lnх–10

По свойству логарифма выражение, стоящее под его знаком больше нуля, то есть х > 0.

Функцию будем рассматривать на интервале (0; +∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Решая квадратное уравнение, получим: D = 9 х 1 = 10 х 2 = 7.

Точка х = 0 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси три точки 0, 7 и 10 .

Ось ох разбивается на интервалы: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, которые находятся по определенному алгорифму. Это является главным показателем при изыскании функции. Точка x0 является точкой минимума, если для всех x из определенной окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ? f(x0) (для точки максимума объективно обратное неравенство f(x) ? f(x0)).

Инструкция

1. Обнаружьте производную функции. Производная характеризует метаморфоза функции в определенной точке и определяется как предел отношения приращения функции к приращению довода, тот, что тяготится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Скажем, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.

2. Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).

3. Обнаружьте значение переменной данного выражения. Это будут те значения, при которых данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры взамен x, при которых все выражение станет нулевым. Скажем:2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1

4. Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для всего из полученных интервалов. На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за предисловие отсчета. Дабы высчитать значение на интервалах подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Скажем, для предыдущей функции до интервала -1 дозволено предпочесть значение -2. На интервале от -1 до 1 дозволено предпочесть 0, а для значений огромнее 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и узнаете знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. негативно и на данном интервале будет стоять знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а значит на данном интервале ставится позитивный знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и потому ставится минус.

5. Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.

Точки максимума функции наравне с точками минимума именуются точками экстремума. В этих точках функция меняет нрав поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых промежутках и неизменно являются локальными.

Инструкция

1. Процесс нахождения локальных экстремумов именуется изысканием функции и выполняется путем обзора первой и 2-й производной функции. Перед началом изыскания удостоверитесь, что данный промежуток значений довода принадлежит к возможным значениям. Скажем, для функции F=1/x значение довода х=0 неприемлемо. Либо для функции Y=tg(x) довод не может иметь значение х=90°.

2. Удостоверитесь, что функция Y дифференцируема на каждому заданном отрезке. Обнаружьте первую производную Y’. Видимо, что до достижения точки локального максимума функция повышается, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость метаморфозы функции. Пока функция нарастает, скорость этого процесса является величиной позитивной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса метаморфозы функции становится негативной. Переход скорости метаморфозы функции через нуль происходит в точке локального максимума.

3. Следственно, на участке возрастания функции ее первая производная позитивна для всех значений довода на этом промежутке. И напротив - на участке убывания функции значение первой производной поменьше нуля. В точке локального максимума значение первой производной равно нулю. Видимо, дабы обнаружить локальный максимум функции, нужно обнаружить точку х?, в которой первая производная этой функции равна нулю. При любом значении довода на исследуемом отрезке хх? – негативной.

4. Для нахождения х? решите уравнение Y’=0. Значение Y(х?) будет локальным максимумом, если вторая производная функции в этой точке поменьше нуля. Обнаружьте вторую производную Y”, подставьте в полученное выражение значение довода х= х? и сравните итог вычислений с нулем.

5. Скажем, функция Y=-x?+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет постоянную производную Y’=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y”=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x?+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.

Видео по теме

Полезный совет
Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают надобные значения и выводят итог. На таких сайтах дозволено обнаружить производную до 5 порядка.

Похожие статьи