Используя число 1, названное единицей, построим некоторое подмножество множества \(R\) следующим образом: обозначим сумму \(1 + 1\) символом 2 и назовем его числом "два" \((2 = 1 + 1) \); обозначим сумму \(2 + 1\) символом 3 и назовем его числом "три" \((3 = 2 + 1)\); аналогично определяем последовательно числа, называемые "четыре", "пять", и т.д. и обозначаемые символами \(4 ~~(4 = 3 + 1), ~~5 ~~(5 = 4 + 1)\) и т.д.
У них нет десятичной или дробной части. Естественные числа вместе с нулем - целые числа. Закрытие собственности целых чисел. Добавление целых чисел всегда дает целое число. Таким образом, целые числа закрываются при добавлении. Таким образом, целые числа не закрываются при вычитании. Например. 5-7 = -2, что является отрицательным целым числом, а не целым числом. Умножение целых чисел всегда дает целое число. Таким образом, целые числа закрываются при умножении. Таким образом, целые числа не закрываются под делением.
Например. 5 ÷ 7 = дробь, таким образом, это не будет целое число. Природные числа можно подразделить на разные типы. Ноль - единственное целое число, которое не является натуральным числом. Следовательно, 0 является аддитивным тождеством для всех чисел. Любое число, деленное на 0, не определено. Ноль, поднятый до любой мощности, дает нулю нулевое значение 0. Поскольку определение натуральных чисел является либо из всех положительных целых чисел, либо для всех неотрицательных целых чисел, поэтому нужно сделать еще немного.
Элементы множества $$\{1,2,3,4,5,...\} \;\;\;\;\;(1.3)$$ называются натуральными числами . Множество всех натуральных чисел обозначают через \(N\).
Обозначим через \(n\) произвольно фиксированное натуральное число \((n \in N);\) число \((n + 1 \in N)\) называется числом, непосредственно следующим за числом \(n\), а само \(n\) - непосредственно предшествующим числу \(n + 1\).
Для прежних натуральных чисел были только положительные числа, теперь новое определение также содержит нуль ниже. Символ формулы используется как аббревиатура для рядов чисел натуральных чисел. Обычно нуль присваивается натуральным числам. Следует отметить, что на него нельзя смотреть ни положительно, ни отрицательно.
Четные и нечетные числа
Естественные уровни могут быть дополнительно дифференцированы. Во-первых, есть естественные четные числа, которые делятся на 2. Соответственно, все еще есть естественные нечетные числа, которые не делятся на 2. Свойство числа, которое должно быть четным или нечетным, называется четностью.
Свойства натуральных чисел
Множество натуральных чисел \(N\) обладает следующим свойством.
Если множество \(M\) таково, что: \(1) ~M \subset N\); \(2) ~1 \in M \); \(3) ~n \in M \) следует, что \(n + 1 \in M\), то $$M = N$$
В самом деле, по условию 2) \(~1 \in M,\) поэтому, согласно свойству 3) и \(2 \in M\) и \(3 \in M\) и т.д. Но любое натуральное число \(~n \in N~\) получается из 1 последовательным переходом от предыдущего натурального числа к последующему, поэтому \(n \in M\), т.е. \(N \subset M\).
Как называются натуральные числа?
Все натуральные числа являются целыми числами. Множество натуральных чисел также может быть отнесено к рациональному и вещественному числам.
Полезно знать о натуральных числах
Естественные числа - это все положительные числа, которые появляются без десятичной точки. Вот почему они называются целыми числами в математике.Как отличаются натуральные числа?
Как правило, нуль является натуральным числом, если используется определение «неотрицательное». Он представляет границу между положительным и отрицательным числами. Существуют различные различия в положительных числах. Например, существуют четные и нечетные числа. Свойство вызывается в паритете жаргона. Все четные числа можно легко разделить на два.
Итак, имеем \(M \subset N\) и \(N \subset M\). По определению это означает, что \(M = N\).
Из свойства 2 следует так называемый принцип доказательства методом математической индукции.
Если имеется множество утверждений, каждому из которых соответствует натуральное число (его номер) \(n = 1,2,...,\) и если доказано, что:
1) справедливо утверждение с номером 1;
Что представляют собой простые числа?
Фактор также приводит к натуральному числу. К ним относятся, например, два, четыре, шесть и восемь. Противоположность формируется естественными нечетными числами, которые делением двух дают фактор с десятичной точкой. Естественные числа продолжают включать простые числа. Они также характеризуются характерными свойствами. Их ценность выше единицы, и их можно разделить только на одну и на себя.
Множество действительных чисел
Соответственно, простые числа имеют только два делителя. К числу, которые обладают особенностью, принадлежит, например, эльф. Если они этого не делают, они являются составными числами. Здесь нуль и один не являются ни загрунтованными, ни составными. В переводе это означает «первое число». В классе дети изучают определения, связанные с простыми числами. Здесь, например, существенная роль играет первичная факторизация. В нем говорится: Естественные числа выше единицы, которые не являются простыми числами, являются произведением двух простых чисел. произведение двух натуральных цифр оказывается делимым на простое, если фактор также обладает этим свойством.
2) из справедливости утверждения с произвольным номером \(n \in N\) следует справедливость утверждения с номером \(n + 1\), то тем самым доказана справедливость всех рассматриваемых утверждений.
Операции натуральными числами
Операция сложения . Пусть \(m\) - произвольное натуральное число. Если \(n\neq 1\) - какое-нибудь число из \(N\), то $$m + n = + 1.$$ Так, по индукции определяется операция, называемая сложением натуральных чисел. Например, $$3 + 2 = (3 + (2 - 1)) + 1 = (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5$$
Простые числа не являются произведением двух натуральных чисел, значение которых больше единицы. В первую очередь, студентам нужны правила при изучении алгебры. Здесь это помогает усвоить естественные числа, чтобы избежать трудностей при выполнении задач. Помимо разложения основного фактора, правила делимости также играют важную роль.
Актуальность правил делимости
Важные правила делимости включают делимость на два. Он существует только с четными числами. Например, если учащиеся пытаются разделить число 13 на две равные половины, результатом будет 6, что не является одним из натуральных чисел. Правило делимости в числе три означает, что число можно разделить на три, если их контрольная сумма также обладает свойством. Посмотрим, относится ли это к числу 813. Чтобы сделать это, мы добавим восемь, один и три, и получим в итоге двенадцать.
Операция умножения . Пусть \(m\) - произвольное натуральное число. Если \(n\neq 1\) - какое-нибудь число из \(N\), то $$m\cdot n = + m.$$ Так, по индукции определяется операция, называемая умножением натуральных чисел. Например, $$3\cdot 4 = + 3 = (3\cdot 3) + 3 = +3=$$ $$=(3\cdot 2)+3+3= + 6 =$$ $$= (3\cdot 1 + 3) + 6 = 6 + 6 = 12$$
Для любых \(~a_1, a_2,..., a_n ~(n\geq 2)~\) из \(~R~\) и \(~b\in R\) $$(a_1 + a_2 +...+a_n)b = a_1b + a_2b +...+a_nb.$$ В самом деле, при \(n = 2\) формула справедлива согласно аксиоме 2.5. Пусть равенство верно при \(n = k\). Покажем, что она справедлива при \(n = k + 1:\) $$(a_1 + a_2 +...+a_{k+1})b = [(a_1 +...+a_k) + a_{k+1}]b =$$ $$= (a_1 +...+a_k)b + a_{k+1}b = a_1b +...+ a_kb + a_{k+1}b.$$ В частности если \(a_1 = a_2 =...= a_n =1\), то $$(a_1+...+a_n)b = (1 +...+ 1)b = b + b +...b = nb.$$
Соответственно, есть возможность даже 813 без труда в трети. Чтобы разделить натуральное число на пять, последняя цифра обязательно представляет собой пять или ноль. Деление на десять выражает целые числа, когда последняя цифра равна нулю. Он указывает, какие дивизоры кажутся одинаковыми для двух разных натуральных чисел. Это указывает, какие результаты существуют как кратность двух цифр. Первое число, которое выглядит одинаково для обоих, оказывается килограммом.
На первый взгляд, многие студенты усложняют правила. Поэтому он доказывает, что находит повседневные примеры. Значение наибольшего общего делителя обычно больше, чем номер один. Если он соответствует этому числу, математики обозначают его как чуждое. При минимальном распространенном множественном значении важно, чтобы он был меньше, чем продукт. В качестве альтернативы он имеет то же значение, поскольку результат умножения всегда представляет собой кратное коэффициентов.
Множество целых чисел
Натуральные числа, им противоположные и нуль называются целыми числами.
Множество всех целых чисел обозначается через \(Z\).
Множество рациональных чисел
Частные \(\frac{m}{n}\), где \(m, n\in Z, n\neq 0,\) называются рациональными числами (от лат. \(ratio\) - отношение). Множество всех рациональных чисел обозначается через \(Q\).
Например, учащиеся пытаются выяснить самый большой общий делитель чисел 12 и 32. Для этого сначала запишите все цифры, которые делят их на двенадцать. После этого они повторяют процесс, сравнивая результаты, отмечая, что число четыре представляет наибольший общий делитель. Так же легко найти наименьшее общее число. Например, студенты берут цифры три и четыре. Во-первых, они рассматривают результаты умножения на три. Сравнивая два результата, ученики замечают, что двенадцать считается кгВ. С правилами делимости, наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным, таблица умножения получает приоритет.
Множество иррациональных чисел
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными (от лат. \(irrationalis\) - неразумный, от \(in (ir)\) - отрицательная приставка к \(ratio\) - число не являющееся рациональным. Множество всех иррациональных чисел обозначается через \(I\).
Таким образом, $$N\subset Z\subset Q\subset R, I\subset R, Q\cup I = R \;\;\;\;\;(1.4)$$
Округление чисел вверх и вниз
Если у детей нет необходимой безопасности, регулярно повторяйте упражнения. Их родители поддерживают их в выполнении математических задач, например, во время несложных действий. Чтобы преобразовать число с десятичной точкой в натуральную цифру, стоит округлить ее вверх или вниз. Здесь правила округления приобретают важное значение. Если числа от одного до четырех находятся за запятой, округлите учащихся. Например, 3. 2 дает около трех. Цифры, за которыми следует запятая с шестью или более высоким значением, округлятся.
Число \(x\), умноженное \(n\) раз на себя, называется n-й степенью числа \(x\) и обозначается через \(x^n\). Таким образом, $$x^n\stackrel{def}{=}\underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{n}\;\;\;\;\;(1.5)$$
Число \(x\) в степени \(x^n\) называется основанием степени, а \(n\) - показателем степени .
Для любых \(x\neq 0\) и \(n\in N\) полагают $$x^0 \stackrel{def}{=} 1, x^{-n} \stackrel{def}{=}\frac{1}{x^n} \;\;\;\;\;(1.6)$$ (\(0^0\) не определяется).
Множество рациональных чисел
Соответственно, 3. 8 соответствует четырем. Если за запятой есть пять, потомки сами решат, кружатся ли они вверх или вниз. Чтобы практиковать математическую процедуру, родители используют карманные деньги в качестве достойного примера. Они дают ребенку пять евро и 60 центов. Если он округляется до шести евро, он получает всю сумму. В качестве альтернативы опекуны используют шоколад в качестве образца материала.
Свойства натуральных чисел
Естественные числа - это те, которые мы используем в процессе подсчета, включая нуль. Множество всех натуральных чисел, которые существуют, обозначается символом. Естественные числа - бесконечное множество. Это означает, что если мы ищем наибольшее натуральное число, которое мы можем себе представить, всегда будет другое натуральное число, большее этого. И это число также будет иметь еще большее количество и так далее.
Если \(m, n\in Z,\) то $$x^m \cdot x^n = x^{m+n}, {(x^n)}^m = x^{nm} \;\;\;\;\;(1.7)$$ для любого \(x\in R\) при \(m>0\) и \(n>0\) и для любого \(x\in R\) и \(x\neq 0\) при \(m\leq 0\) и \(n\leq 0\).
1) \(m > 0, n > 0:\) $$ x^m\cdot x^n ={m} \underbrace {x\cdot x \cdot ...\cdot x}_{n} =\underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{m+n} =x^{m+n} $$
2) \(x\neq 0 m=0 n\in Z:\) $$x^m\cdot x^n = x^0\cdot x^n=1\cdot x^n=x^n=x^{0+n}=x^{m+n};$$
3) \(x\neq 0 m\in Z n=0:\) $$x^m\cdot x^n = x^m\cdot x^0=x^m\cdot 1=x^m=x^{m+0}=x^{m+n};$$
4) \(x\neq 0, m<0, n>0:\)
Они могут быть представлены графически по номерной строке. Это луч с отметками в начале и целиком, всегда разделенный тем же расстоянием между ними. Каждый бренд имеет натуральное число, соответствующее тому, что им соответствует. Это означает, что независимо от того, насколько мы его расширим, всегда будет больше справа.
Естественные числа имеют несколько важных характеристик.
- Множество натуральных чисел имеет начальный элемент.
- Каждое натуральное число имеет единственного преемника.
- Множество натуральных чисел упорядочено.
Пусть \(m = -p<0,\) причем \(p\leq n;\) тогда $$x^m \cdot x^n = \frac {1}{x^p} \cdot x^n = \frac {1}{x^p} \cdot \underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{p} \underbrace{ x \cdot x \cdot ... \cdot x}_{n-p } =$$ $$= {1}{x^p}\cdot x^p\cdot x^{n-p}=1\cdot x^{n-p}=x^{n-p}=x^{n+m}. $$
Если же \(p>n,\) то в соответствии с 4.4 $$x^m \cdot x^n = \frac{1}{x^p} \cdot x^n = \frac{1}{x^n \cdot x^{p-n}} \cdot x^n = \frac{1}{x^n} \cdot \frac{1}{x^{p-n}} \cdot x^n = \frac{1}{x^{p-n}} =$$ $$=\frac{1}{x^{-m-n}} = x^{m+n}.$$ \((x\neq 0, m>0, n>0\) - аналогично)
Получив информацию из этой строки, мы можем определить следующие понятия. Мы видим, что верно только одно из соотношений. Мы видим, что правило также соблюдается, и только одно из отношений верно. У двух разных натуральных чисел не может быть один и тот же преемник. Число больше другого, если оно справа от номера. Число меньше, чем другое, если оно находится слева от номера строки. Два числа равны, если они занимают одну и ту же позицию в числовой строке. Для любых двух чисел, которые мы выберем, только одно из отношений порядка может быть истинным.
- Естественные числа - это то, что мы используем для подсчета.
- Нуль - это первый элемент множества натуральных чисел.
- Множество натуральных чисел является упорядоченным множеством.
- Множество натуральных чисел бесконечно.
- Все натуральные числа имеют единственный преемник.
5) \(x\neq 0, m<0, n<0:\)
Полагая \(m =-p, n=-q\) и используя снова 4.4, получим: $$x^m \cdot x^n = \frac{1}{x^p} \cdot \frac{1}{x^q} = \frac{1}{x^p \cdot x^q} = \frac{1}{x^{p+q}} = \frac{1}{x^{-m-n}} = x^{m+n}.$$
4.6. Если \(p\neq 0, q\neq 0, \) то $${x}{p}+{y}{q}={xq+yp}{pq}.$$ Действительно, $${xq+yp}{pq}={1}{pq}(xq+yp)={1}{pq}\cdot xq+{1}{pq}\cdot yp=$$ $$={1}{p}\cdot x\cdot {1}{q}\cdot q+{1}{q}\cdot y\cdot {1}{p}\cdot p=$$ $$={x}{p}\cdot 1 + {y}{q}\cdot 1={x}{p} + {y}{q}.$$
Число - это основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.
Естественное число формируется всеми негарантами. Другими словами, каждое число, которое является целым и положительным, является естественным, кроме того, поскольку нуль является целым, но не отрицательным, оно также является натуральным числом. Таким образом, список натуральных чисел выглядит следующим образом.
И так далее, следуя этой же схеме обучения. Обратите внимание, что эта последовательность чисел является той, которую мы используем для подсчета. Каждый из этих символов представляет собой сумму, поэтому, начиная ни с чем, одна единица, две единицы и т.д.
Множество натуральных чисел
Натуральные числа — это числа, возникающие при естественном счёте. Множество натуральных чисел обозначается символом . Иными словами, множество натуральных чисел — это множество .
Проблема нуля. Следует иметь в виду, что вопрос отнесения нуля к множеству натуральных чисел является нерешённой проблемой. Математикам всего мира так и не удалось договориться относительно того, следует ли включать в множество натуральных чисел, либо нет. Именно поэтому в математической литературе можно встретить также и такое определение множества натуральных чисел: . Однако, мы будем исходить из предположения, что не является элементом множества натуральных чисел.
Множество натуральных чисел образуется только целыми числами и не содержит повторяющихся чисел, поэтому можно выбрать между двумя различными натуральными числами, которые больше, а те, которые меньше. Эта функция гарантирует, что, независимо от выбранного натурального числа, и насколько бы он ни был значительным, всегда будет естественное число на единицу больше, чем оно. Поэтому множество натуральных чисел бесконечно.
Не у каждого естественного числа есть предшественник. Фактически, только нуль не имеет, поскольку он является первым натуральным числом, а также потому, что 0-1 = -1, что не является натуральным числом. Таким образом, мы заключаем, что множество натуральных чисел ограничено.
Множество простых чисел
Крайне важным подмножеством множества натуральных чисел является множество простых чисел , для получения информации о котором я рекомендую обратиться к статье .
Множество целых чисел
Множество целых чисел — это объединение множества натуральных чисел с нулём и множеством чисел противоположных натуральным. Множество целых чисел обозначают символом . Таким образом, и .
Множество рациональных чисел
Рациональные числа
— это числа, представимые в виде дроби , где и . Множество рациональных чисел обозначают символом . Таким образом, 
. В силу определения имеем: .
Иными словами, рациональные числа и только они — это бесконечные периодические десятичные дроби. В силу того, что всякую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической дробью с периодом нуль или девять, конечные десятичные дроби также являются элементами множества рациональных чисел.
Множество действительных чисел
Действительные (вещественные) числа — это числа, представляющие собой бесконечные десятичные дроби. Поскольку конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической дробью с периодом нуль или девять, то всякая конечная десятичная дробь в силу определения также является элементом множества действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают символом . Таким образом, .
Похожие статьи
